El círculo unitario es la forma más rápida de ver qué significan sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta y tan⁡θ\tan \theta. Es el círculo centrado en el origen con radio 11, y el punto al que llega un ángulo θ\theta es

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Así que el coseno es la coordenada horizontal y el seno es la coordenada vertical. La tangente sale de su cociente cuando cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

En un círculo unitario, la medida en radianes tiene un significado especial: como el radio es 11, la longitud del arco desde 00 hasta θ\theta es exactamente θ\theta radianes.

Explora el círculo unitario

Mueve el ángulo y observa cómo cambian juntos el punto, las coordenadas y los valores trigonométricos. Empieza con 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ y 330∘330^\circ para ver cómo un mismo ángulo de referencia puede producir cuatro patrones de signo distintos.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Lee el seno y el coseno a partir de las coordenadas

Cada punto del círculo tiene la forma (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Eso significa que no necesitas una regla aparte para el seno y el coseno: solo lee las coordenadas horizontal y vertical del punto.

Esto también da una comprobación rápida de signos. Los puntos de la mitad izquierda tienen coseno negativo, y los puntos por debajo del eje xx tienen seno negativo.

  • Cuadrante I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 y cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Cuadrante II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 y cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Cuadrante III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 y cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Cuadrante IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 y cos⁡θ>0\cos \theta > 0

La tangente no está definida cuando cos⁡θ=0\cos \theta = 0. En el círculo unitario, eso ocurre en los puntos superior e inferior: 90∘90^\circ y 270∘270^\circ.

Ejemplo resuelto: 150∘150^\circ en el círculo unitario

150∘150^\circ está en el cuadrante II, así que el coseno debe ser negativo y el seno debe ser positivo. Su ángulo de referencia es 30∘30^\circ, lo que significa que las magnitudes de las coordenadas coinciden con las del punto de 30∘30^\circ.

En 30∘30^\circ, el punto es

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

En el cuadrante II solo cambia el signo de la coordenada xx, así que en 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Entonces

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Usa el explorador para saltar entre 30∘30^\circ y 150∘150^\circ. Las magnitudes de las coordenadas se mantienen iguales, pero el cuadrante cambia el signo de la coordenada xx.

Qué debes notar en el explorador

Usa el widget para probar algunos patrones en lugar de memorizar hechos aislados:

  1. Los ángulos con el mismo ángulo de referencia reutilizan las mismas magnitudes de coordenadas.
  2. Sumar 360∘360^\circ lleva al mismo punto, así que el seno y el coseno se repiten en cada vuelta completa.
  3. Los ejes son casos límite en los que una coordenada se vuelve 00.

Prueba una comprobación similar

Elige un ángulo en cada cuadrante y predice los signos de sin⁡θ\sin \theta y cos⁡θ\cos \theta antes de comprobarlo en el widget. Luego elige un ángulo de referencia como 30∘30^\circ o 45∘45^\circ y observa cómo las mismas magnitudes de coordenadas reaparecen alrededor del círculo.

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