Đường tròn lượng giác là cách nhanh nhất để thấy sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta và tan⁡θ\tan \theta có ý nghĩa gì. Đây là đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 11, và điểm ứng với góc θ\theta là

(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta)

Vì vậy, cosin là tọa độ theo phương ngang còn sin là tọa độ theo phương dọc. Tang được xác định từ tỉ số của chúng khi cos⁡θ≠0\cos \theta \ne 0:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

Trên đường tròn lượng giác, số đo radian có một ý nghĩa đặc biệt: vì bán kính bằng 11, độ dài cung từ 00 đến θ\theta chính xác là θ\theta radian.

Khám Phá Đường Tròn Lượng Giác

Di chuyển góc và quan sát điểm, tọa độ và các giá trị lượng giác thay đổi cùng nhau. Hãy bắt đầu với 30∘30^\circ, 150∘150^\circ, 210∘210^\circ và 330∘330^\circ để thấy một góc tham chiếu có thể tạo ra bốn kiểu dấu khác nhau.

Unit circle explorer

Move the angle and compare three linked ideas: the point on the circle, the coordinates, and the trig values. The x-coordinate is cos(theta), the y-coordinate is sin(theta), and coterminal angles land on the same point.

xy(0.707, 0.707)cos(theta)sin(theta)45 deg
What to notice

The point always stays one unit from the origin, so its coordinates satisfy x^2 + y^2 = 1. Moving around the circle changes cos(theta) and sin(theta), but not the radius.

If you add or subtract 360 deg, the point does not move. In this view, 45 deg is already in standard position.

Current values
Actual angle: 45 deg
Radian measure: pi/4
Standard position: 45 deg
Quadrant or axis: Quadrant I
Reference angle: 45 deg
Point on the circle: (0.7071, 0.7071)
cos(theta): 0.7071
sin(theta): 0.7071
tan(theta): 1
x^2 + y^2: 1
Special-angle check
Normalized special angle: 45 deg
Equivalent radian position in one turn: pi/4
Exact point: (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
Exact cos(theta): sqrt(2)/2
Exact sin(theta): sqrt(2)/2
Exact tan(theta): 1
Try this

Compare 30 deg, 150 deg, 210 deg, and 330 deg. The reference angle stays 30 deg, so the absolute values of the coordinates match while the signs change by quadrant.

Đọc Sin Và Cos Từ Tọa Độ

Mọi điểm trên đường tròn đều có dạng (x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos \theta, \sin \theta). Điều đó có nghĩa là bạn không cần một quy tắc riêng cho sin và cos: chỉ cần đọc tọa độ ngang và dọc của điểm.

Điều này cũng giúp kiểm tra dấu rất nhanh. Các điểm ở nửa bên trái có cos âm, và các điểm nằm dưới trục xx có sin âm.

  • Góc phần tư I: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 và cos⁡θ>0\cos \theta > 0
  • Góc phần tư II: sin⁡θ>0\sin \theta > 0 và cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Góc phần tư III: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 và cos⁡θ<0\cos \theta < 0
  • Góc phần tư IV: sin⁡θ<0\sin \theta < 0 và cos⁡θ>0\cos \theta > 0

Tang không xác định khi cos⁡θ=0\cos \theta = 0. Trên đường tròn lượng giác, điều đó xảy ra tại điểm trên cùng và dưới cùng: 90∘90^\circ và 270∘270^\circ.

Ví Dụ Có Lời Giải: 150∘150^\circ Trên Đường Tròn Lượng Giác

150∘150^\circ nằm ở góc phần tư II, nên cos phải âm và sin phải dương. Góc tham chiếu của nó là 30∘30^\circ, nên độ lớn các tọa độ sẽ giống với điểm tại 30∘30^\circ.

Tại 30∘30^\circ, điểm là

(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Ở góc phần tư II, chỉ dấu của tọa độ xx thay đổi, nên tại 150∘150^\circ:

(cos⁡150∘,sin⁡150∘)=(−32,12)(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

Khi đó

tan⁡150∘=sin⁡150∘cos⁡150∘=1/2−3/2=−13\tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}

Hãy dùng công cụ để chuyển qua lại giữa 30∘30^\circ và 150∘150^\circ. Độ lớn các tọa độ giữ nguyên, nhưng góc phần tư làm đổi dấu của tọa độ xx.

Điều Cần Chú Ý Trong Công Cụ

Hãy dùng widget để kiểm tra một vài quy luật thay vì ghi nhớ các dữ kiện rời rạc:

  1. Các góc có cùng góc tham chiếu sẽ dùng lại cùng độ lớn tọa độ.
  2. Cộng thêm 360∘360^\circ sẽ quay về đúng cùng một điểm, nên sin và cos lặp lại sau mỗi vòng tròn đầy đủ.
  3. Các trục là những trường hợp biên, nơi một trong hai tọa độ trở thành 00.

Thử Một Bài Kiểm Tra Tương Tự

Chọn một góc ở mỗi góc phần tư và dự đoán dấu của sin⁡θ\sin \theta và cos⁡θ\cos \theta trước khi kiểm tra bằng widget. Sau đó chọn một góc tham chiếu như 30∘30^\circ hoặc 45∘45^\circ và quan sát cách cùng độ lớn tọa độ xuất hiện lặp lại quanh đường tròn.

Cần trợ giúp giải bài?

Tải câu hỏi lên và nhận lời giải từng bước đã được xác minh trong vài giây.

Mở GPAI Solver →