สูตรความชัน: ขึ้นต่อวิ่ง และรูปแบบความชัน-จุดตัดแกน

สูตรความชันใช้หาความชันของเส้นตรงจากจุดสองจุด:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

ใช้สูตรนี้เมื่อคุณรู้จุดสองจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และต้องการหาความชันหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของเส้นนั้น พูดง่าย ๆ ความชันคือ ขึ้นต่อวิ่ง: การเปลี่ยนแปลงของ $y$ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$

สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $x_2 \ne x_1$ ถ้าจุดทั้งสองมีค่า $x$ เท่ากัน เส้นจะเป็นเส้นตรงแนวตั้ง ทำให้ตัวส่วนเป็น $0$ และความชันจะไม่กำหนด

ถ้า $m > 0$ เส้นจะสูงขึ้นจากซ้ายไปขวา ถ้า $m < 0$ เส้นจะลดลง และถ้า $m = 0$ เส้นจะเป็นเส้นแนวนอน

สูตรความชันหมายถึงอะไร

ตัวเศษ $y_2 - y_1$ คือการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้ง หรือที่เรียกว่า rise ส่วนตัวส่วน $x_2 - x_1$ คือการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน หรือที่เรียกว่า run

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่สูตรความชันกับแนวคิดขึ้นต่อวิ่งเป็นเรื่องเดียวกัน สูตรนี้เป็นเพียงรูปแบบที่เขียนด้วยพิกัดของอัตราส่วนนี้

ตัวอย่างทำโจทย์: หาความชันจากสองจุด

จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $(2, 3)$ และ $(5, 9)$ กำหนดให้จุดแรกเป็น $(x_1, y_1)$ และจุดที่สองเป็น $(x_2, y_2)$

เริ่มจากสูตร:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

แทนค่าพิกัดตามลำดับเดียวกัน:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

ดังนั้นความชันคือ $2$ นั่นหมายความว่าเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้น $2$

คุณยังมองผลลัพธ์เดียวกันในแบบขึ้นต่อวิ่งได้ จาก $(2, 3)$ ไป $(5, 9)$ ค่า rise คือ $6$ และค่า run คือ $3$ ดังนั้น

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

จากสูตรความชันไปสู่รูปแบบความชัน-จุดตัดแกน

เมื่อคุณรู้ค่าความชันแล้ว คุณสามารถใช้รูปแบบความชัน-จุดตัดแกน

$$y = mx + b$$

เพื่อเขียนสมการของเส้นตรงได้ ตราบใดที่เส้นนั้นไม่ใช่เส้นตรงแนวตั้ง

จากตัวอย่างข้างบน $m = 2$ แทนค่าจุดหนึ่งจุด เช่น $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

ดังนั้นเส้นตรงคือ

$$y = 2x - 1$$

ความเชื่อมโยงนี้มีประโยชน์มากในทางปฏิบัติ: สูตรความชันให้ค่า $m$ และรูปแบบความชัน-จุดตัดแกนใช้ค่าความชันนั้นเพื่อเขียนสมการเต็มของเส้นตรง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรความชัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือ ลบค่า $y$ ตามลำดับหนึ่ง แต่ลบค่า $x$ ในลำดับตรงกันข้าม ถ้าคุณใช้ $y_2 - y_1$ คุณก็ต้องใช้ $x_2 - x_1$ ด้วย

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือบอกว่าเส้นตรงแนวตั้งมีความชันเป็น $0$ จริง ๆ แล้วเส้นแนวนอนต่างหากที่มีความชันเป็น $0$ ส่วนเส้นตรงแนวตั้งมีความชันไม่กำหนด เพราะตัวส่วนกลายเป็น $0$

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือมองข้ามเครื่องหมาย ความชันติดลบหมายความว่าเส้นจะลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น

ควรใช้สูตรความชันเมื่อไร

ใช้สูตรความชันเมื่อคุณรู้จุดสองจุดบนเส้นตรงและต้องการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน เรื่องนี้พบได้ในพีชคณิต เรขาคณิตวิเคราะห์ การเขียนกราฟ และความสัมพันธ์เชิงเส้นทุกแบบที่การเปลี่ยนแปลงของ $x$ เท่ากันทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของ $y$ อย่างคงที่

ถ้ากราฟไม่ใช่เส้นตรง ความชันระหว่างสองจุดจะเป็นเพียงความชันของเส้นตัดระหว่างจุดทั้งสองเท่านั้น ไม่ใช่ความชันคงที่หนึ่งค่าเดียวของกราฟทั้งหมด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้จุด $(1, -2)$ และ $(4, 7)$ หาความชันก่อน แล้วใช้หนึ่งจุดเพื่อเขียนสมการในรูปแบบความชัน-จุดตัดแกน ถ้าคุณต้องการลองอีกกรณีต่อทันที ให้ไปต่อที่ How To Find Slope หรือ Slope Intercept Form