กราฟเส้นตรง: $y = mx + c$ และเส้นขนาน

กราฟเส้นตรงแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้น ซึ่งเป็นกรณีที่อัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่ ในรูปแบบที่ใช้บ่อย $y = mx + c$ นั้น $m$ บอกความชัน และ $c$ บอกจุดตัดแกน $y$ ทำให้คุณดูได้อย่างรวดเร็วว่าเส้นมีลักษณะอย่างไร และเส้นสองเส้นขนานกันหรือไม่

$y = mx + c$ บอกอะไรได้บ้าง

ในสมการ

$$y = mx + c$$

$m$ คือความชัน หรือเรียกอีกอย่างว่า gradient มันวัดว่า $y$ เปลี่ยนไปเท่าไรเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น $1$

$c$ คือจุดตัดแกน $y$ เป็นค่าของ $y$ เมื่อ $x = 0$ ดังนั้นเส้นตรงจะตัดแกน $y$ ที่ $(0, c)$

รูปแบบนี้ใช้อธิบายเส้นตรงที่ไม่เป็นแนวตั้ง ส่วนเส้นตรงแนวตั้งก็เป็นเส้นตรงเช่นกัน แต่จะมีสมการอย่าง $x = 4$ จึงไม่สามารถเขียนในรูป $y = mx + c$ ได้

ความชันเปลี่ยนกราฟอย่างไร

ถ้า $m$ เป็นบวก เส้นจะสูงขึ้นจากซ้ายไปขวา ถ้า $m$ เป็นลบ เส้นจะลดลงจากซ้ายไปขวา ถ้า $m = 0$ เส้นจะเป็นแนวนอน

ตัวอย่างเช่น ถ้า

$$y = 3x + 2$$

ทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้น $3$ เส้นตรงจะตัดแกน $y$ ที่ $(0, 2)$ ดังนั้นมันเริ่มต้นที่สูงกว่าจุดกำเนิด $2$ หน่วย

ตัวอย่างทำโจทย์: วาดกราฟ $y = 2x + 1$

พิจารณาเส้นตรง

$$y = 2x + 1$$

เริ่มจากจุดตัดแกน เมื่อ $x = 0$, $y = 1$ ดังนั้นเส้นตรงผ่านจุด $(0, 1)$

ต่อไปใช้ความชัน เนื่องจาก $m = 2$ เมื่อขยับไปทางขวา $1$ หน่วย ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้น $2$ จึงได้จุดที่สองคือ $(1, 3)$

คุณสามารถตรวจอีกหนึ่งจุดด้วยวิธีเดียวกันได้:

$$x = 2 \Rightarrow y = 2(2) + 1 = 5$$

ดังนั้น $(2, 5)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เมื่อคุณมีจุดที่ถูกต้องสองจุดแล้ว ก็สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นได้

ดูอย่างไรว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน

เส้นตรงสองเส้นที่ไม่เป็นแนวตั้งจะขนานกันเมื่อมีความชันเท่ากัน และมีจุดตัดแกนต่างกัน

ตัวอย่างเช่น

$$y = 2x + 1$$

และ

$$y = 2x - 3$$

เป็นเส้นขนานกัน เพราะทั้งคู่มีความชัน $2$ เท่ากัน ทั้งสองเส้นเพิ่มขึ้นในอัตราเดียวกัน จึงไม่มีวันตัดกัน และเพราะจุดตัดแกนต่างกัน จึงเป็นคนละเส้น ไม่ใช่เส้นเดียวกัน

แนวคิดนี้ยังมีในกรณีของเส้นแนวตั้งด้วย เช่น เส้น $x = 1$ และ $x = 5$ ก็ขนานกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกราฟเส้นตรง

สับสนระหว่าง $c$ กับจุดตัดแกน $x$

ใน $y = mx + c$ จำนวน $c$ คือจุดตัดแกน $y$ ไม่ใช่จุดตัดแกน $x$ มันบอกว่าเส้นตรงตัดแกน $y$ ที่ตำแหน่งใด

คิดว่าความชันเท่ากันแปลว่าเป็นเส้นขนานคนละเส้นเสมอ

ถ้าสมการสองสมการมีความชันเท่ากันและมีจุดตัดแกนเท่ากัน แปลว่าเป็นเส้นเดียวกัน ถ้าจะเป็นเส้นขนานที่เป็นคนละเส้นสำหรับกรณีไม่เป็นแนวตั้ง ความชันต้องเท่ากันและจุดตัดแกนต้องต่างกัน

ลืมเรื่องเส้นตรงแนวตั้ง

$y = mx + c$ ไม่ได้แทนเส้นตรงแนวตั้ง ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงแนวตั้ง สมการจะอยู่ในรูป $x = a$

กราฟเส้นตรงใช้ที่ไหนบ้าง

กราฟเส้นตรงพบได้ทุกครั้งที่ปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราคงที่ตามอีกปริมาณหนึ่ง ตัวอย่างที่พบบ่อยคือ แบบจำลองราคาคงที่บวกค่าต่อชิ้น ระยะทางที่เดินทางด้วยความเร็วคงที่ และการแปลงหน่วยที่เขียนในรูปเชิงเส้น

กราฟเหล่านี้สำคัญเพราะเชื่อมพีชคณิตกับกราฟเข้าด้วยกันอย่างตรงไปตรงมา สมการบอกแบบแผน ส่วนกราฟช่วยให้คุณมองเห็นมันได้

ลองทำโจทย์คล้ายกัน

เขียนสมการสองสมการที่มีความชันเท่ากัน เช่น $y = -x + 4$ และ $y = -x - 1$ พล็อตจุดตัดแกนก่อน แล้วใช้ความชันเพื่อหาจุดที่สองของแต่ละเส้น คุณจะเห็นว่าความชันที่เท่ากันทำให้เกิดเส้นขนาน

ถ้าคุณอยากลองอีกกรณีหนึ่ง ให้สร้างโจทย์แบบของตัวเองจากแบบฝึกหัด แล้วตรวจดูว่ากราฟ ความชัน และจุดตัดแกนสอดคล้องกันทั้งหมดหรือไม่