Công thức hệ số góc: độ tăng trên độ chạy và dạng hệ số góc - tung độ gốc

Công thức hệ số góc cho biết hệ số góc của một đường thẳng từ hai điểm:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Dùng công thức này khi bạn biết hai điểm nằm trên cùng một đường thẳng và muốn tìm độ dốc, hay tốc độ thay đổi, của đường thẳng đó. Nói đơn giản, hệ số góc là độ tăng trên độ chạy: độ thay đổi của $y$ chia cho độ thay đổi của $x$.

Công thức này chỉ đúng khi $x_2 \ne x_1$. Nếu hai điểm có cùng giá trị $x$, đường thẳng là đường thẳng đứng, nên mẫu số bằng $0$ và hệ số góc không xác định.

Nếu $m > 0$, đường thẳng đi lên từ trái sang phải. Nếu $m < 0$, nó đi xuống. Nếu $m = 0$, đường thẳng là đường nằm ngang.

Công thức hệ số góc có ý nghĩa gì

Tử số $y_2 - y_1$ là độ thay đổi theo phương thẳng đứng, còn gọi là độ tăng. Mẫu số $x_2 - x_1$ là độ thay đổi theo phương ngang, còn gọi là độ chạy.

Đó là lý do công thức hệ số góc và độ tăng trên độ chạy là cùng một ý tưởng. Công thức chỉ là phiên bản theo tọa độ của tỉ số đó.

Ví dụ có lời giải: tìm hệ số góc từ hai điểm

Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua $(2, 3)$ và $(5, 9)$. Gọi điểm thứ nhất là $(x_1, y_1)$ và điểm thứ hai là $(x_2, y_2)$.

Bắt đầu với công thức:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Thay tọa độ theo đúng cùng một thứ tự:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Vậy hệ số góc là $2$. Điều đó có nghĩa là mỗi khi $x$ tăng thêm $1$, thì $y$ tăng thêm $2$.

Bạn cũng có thể thấy cùng kết quả này dưới dạng độ tăng trên độ chạy. Từ $(2, 3)$ đến $(5, 9)$, độ tăng là $6$ và độ chạy là $3$, nên

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

Từ công thức hệ số góc đến dạng hệ số góc - tung độ gốc

Khi đã biết hệ số góc, bạn có thể dùng dạng hệ số góc - tung độ gốc

$$y = mx + b$$

để viết phương trình đường thẳng, miễn là đường thẳng đó không thẳng đứng.

Dùng ví dụ ở trên, $m = 2$. Thay một điểm vào, chẳng hạn $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Vậy đường thẳng là

$$y = 2x - 1$$

Mối liên hệ này rất thực tế: công thức hệ số góc cho bạn $m$, còn dạng hệ số góc - tung độ gốc dùng hệ số góc đó để viết phương trình đầy đủ.

Những lỗi thường gặp với công thức hệ số góc

Một lỗi phổ biến là trừ các giá trị $y$ theo một thứ tự nhưng lại trừ các giá trị $x$ theo thứ tự ngược lại. Nếu bạn dùng $y_2 - y_1$, thì bạn cũng phải dùng $x_2 - x_1$.

Một lỗi khác là nói rằng đường thẳng đứng có hệ số góc bằng $0$. Đường nằm ngang mới có hệ số góc bằng $0$. Đường thẳng đứng có hệ số góc không xác định vì mẫu số trở thành $0$.

Lỗi thứ ba là bỏ qua dấu. Hệ số góc âm nghĩa là đường thẳng đi xuống khi $x$ tăng.

Khi nào nên dùng công thức hệ số góc

Dùng công thức hệ số góc khi bạn biết hai điểm trên một đường thẳng và muốn tìm tốc độ thay đổi của nó. Điều này thường gặp trong đại số, hình học tọa độ, vẽ đồ thị và mọi mối quan hệ tuyến tính mà các thay đổi bằng nhau của $x$ tạo ra một thay đổi không đổi của $y$.

Nếu đồ thị không phải là đường thẳng, thì hệ số góc giữa hai điểm chỉ là hệ số góc của đường cát tuyến đi qua hai điểm đó. Nó không phải là một hệ số góc không đổi cho toàn bộ đồ thị.

Thử một bài tương tự

Hãy tự làm một bài với hai điểm $(1, -2)$ và $(4, 7)$. Trước tiên tìm hệ số góc, rồi dùng một điểm để viết phương trình ở dạng hệ số góc - tung độ gốc. Nếu bạn muốn làm thêm một trường hợp nữa ngay sau bài này, hãy tiếp tục với How To Find Slope hoặc Slope Intercept Form.