傾きの公式：変化の割合と切片形

傾きの公式を使うと、2点から直線の傾きを求められます。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

この公式は、同じ直線上の2点がわかっていて、その直線の急さや変化の割合を知りたいときに使います。わかりやすく言うと、傾きは「縦の変化 ÷ 横の変化」、つまり $y$ の変化量を $x$ の変化量で割ったものです。

この公式が使えるのは $x_2 \ne x_1$ のときだけです。2点の $x$ 座標が同じなら直線は垂直なので、分母が $0$ になり、傾きは定義されません。

$m > 0$ なら、直線は左から右へ上がります。$m < 0$ なら下がります。$m = 0$ なら水平な直線です。

傾きの公式の意味

分子の $y_2 - y_1$ は縦の変化量です。これは rise とも呼ばれます。分母の $x_2 - x_1$ は横の変化量です。これは run とも呼ばれます。

だから、傾きの公式と「縦の変化 ÷ 横の変化」は同じ考え方です。この公式は、その比を座標で表したものにすぎません。

例題：2点から傾きを求める

$(2, 3)$ と $(5, 9)$ を通る直線の傾きを求めます。最初の点を $(x_1, y_1)$、2つ目の点を $(x_2, y_2)$ とします。

まず公式を書きます。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

次に、同じ順序で座標を代入します。

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

したがって、傾きは $2$ です。これは、$x$ が $1$ 増えるたびに $y$ が $2$ 増えることを意味します。

同じ結果は「縦の変化 ÷ 横の変化」としても確認できます。$(2, 3)$ から $(5, 9)$ までは、縦の変化が $6$、横の変化が $3$ なので、

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

傾きの公式から切片形へ

傾きがわかれば、切片形

$$y = mx + b$$

を使って直線の方程式を書けます。ただし、直線が垂直でない場合に限ります。

上の例では、$m = 2$ です。$(2, 3)$ のように、わかっている1点を代入します。

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

したがって、直線は

$$y = 2x - 1$$

となります。

つながりはとても実用的です。傾きの公式で $m$ を求め、切片形ではその傾きを使って直線の方程式全体を書きます。

傾きの公式でよくある間違い

よくある間違いの1つは、$y$ の値を引く順序と、$x$ の値を引く順序を逆にしてしまうことです。$y_2 - y_1$ を使うなら、$x$ も必ず $x_2 - x_1$ にします。

もう1つの間違いは、垂直な直線の傾きを $0$ としてしまうことです。傾きが $0$ なのは水平な直線です。垂直な直線は、分母が $0$ になるので傾きは定義されません。

3つ目の間違いは、符号を見落とすことです。傾きが負なら、$x$ が増えるにつれて直線は下がっていきます。

傾きの公式を使う場面

傾きの公式は、直線上の2点がわかっていて、その変化の割合を求めたいときに使います。これは代数、座標幾何、グラフ、そして $x$ の等しい変化に対して $y$ が一定の割合で変化する一次関係でよく出てきます。

グラフが直線でない場合、2点間の傾きはその2点を結ぶ割線の傾きにすぎません。グラフ全体で一定の傾きになるわけではありません。

似た問題に挑戦してみよう

$(1, -2)$ と $(4, 7)$ を使って、自分でも解いてみましょう。まず傾きを求め、そのあと1点を使って切片形で方程式を書いてみてください。続けて別の問題も見たいなら、How To Find Slope や Slope Intercept Form に進んでください。