Formule de la pente : dénivelé sur déplacement horizontal et forme

La formule de la pente permet de calculer la pente d’une droite à partir de deux points :

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Utilisez-la lorsque vous connaissez deux points d’une même droite et que vous voulez mesurer son inclinaison, ou taux de variation. En termes simples, la pente est le dénivelé sur le déplacement horizontal : la variation de $y$ divisée par la variation de $x$.

Cela fonctionne seulement lorsque $x_2 \ne x_1$. Si les deux points ont la même valeur de $x$, la droite est verticale, donc le dénominateur vaut $0$ et la pente est indéfinie.

Si $m > 0$, la droite monte de gauche à droite. Si $m < 0$, elle descend. Si $m = 0$, la droite est horizontale.

Ce que signifie la formule de la pente

Le numérateur $y_2 - y_1$ est la variation verticale, aussi appelée le dénivelé. Le dénominateur $x_2 - x_1$ est la variation horizontale, aussi appelée le déplacement horizontal.

C’est pourquoi la formule de la pente et le dénivelé sur déplacement horizontal expriment la même idée. La formule n’est que la version en coordonnées de ce rapport.

Exemple résolu : trouver la pente à partir de deux points

Trouvez la pente de la droite passant par $(2, 3)$ et $(5, 9)$. Notez le premier point $(x_1, y_1)$ et le second $(x_2, y_2)$.

Commencez par la formule :

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Remplacez par les coordonnées dans le même ordre :

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

La pente est donc $2$. Cela signifie que chaque fois que $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $2$.

On peut voir le même résultat comme un dénivelé sur déplacement horizontal. De $(2, 3)$ à $(5, 9)$, le dénivelé est de $6$ et le déplacement horizontal est de $3$, donc

$$\frac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}} = \frac{6}{3} = 2$$

De la formule de la pente à la forme pente-ordonnée à l’origine

Une fois la pente connue, vous pouvez utiliser la forme pente-ordonnée à l’origine

$$y = mx + b$$

pour écrire l’équation de la droite, tant que la droite n’est pas verticale.

En reprenant l’exemple ci-dessus, $m = 2$. Remplacez avec un point, par exemple $(2, 3)$ :

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

La droite est donc

$$y = 2x - 1$$

Le lien est pratique : la formule de la pente vous donne $m$, et la forme pente-ordonnée à l’origine utilise cette pente pour écrire l’équation complète.

Erreurs fréquentes avec la formule de la pente

Une erreur fréquente consiste à soustraire les valeurs de $y$ dans un ordre et les valeurs de $x$ dans l’ordre inverse. Si vous utilisez $y_2 - y_1$, vous devez aussi utiliser $x_2 - x_1$.

Une autre erreur est de dire qu’une droite verticale a une pente de $0$. Une droite horizontale a une pente de $0$. Une droite verticale a une pente indéfinie parce que le dénominateur devient $0$.

Une troisième erreur consiste à ignorer le signe. Une pente négative signifie que la droite descend lorsque $x$ augmente.

Quand utiliser la formule de la pente

Utilisez la formule de la pente lorsque vous connaissez deux points d’une droite et que vous voulez son taux de variation. Cela apparaît en algèbre, en géométrie analytique, dans les graphiques et dans toute relation linéaire où des variations égales de $x$ produisent une variation constante de $y$.

Si le graphique n’est pas une droite, la pente entre deux points n’est que celle de la sécante passant par ces points. Ce n’est pas une pente constante pour tout le graphique.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec les points $(1, -2)$ et $(4, 7)$. Trouvez d’abord la pente, puis utilisez un point pour écrire l’équation sous la forme pente-ordonnée à l’origine. Si vous voulez enchaîner avec un autre cas, continuez avec How To Find Slope ou Slope Intercept Form.