Fórmula da Inclinação: Variação Vertical sobre Variação Horizontal e Forma

A fórmula da inclinação dá a inclinação de uma reta a partir de dois pontos:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Use essa fórmula quando você conhece dois pontos da mesma reta e quer saber sua inclinação, ou taxa de variação. Em linguagem simples, inclinação é variação vertical sobre variação horizontal: a mudança em $y$ dividida pela mudança em $x$.

Isso só funciona quando $x_2 \ne x_1$. Se os dois pontos tiverem o mesmo valor de $x$, a reta é vertical, então o denominador é $0$ e a inclinação é indefinida.

Se $m > 0$, a reta sobe da esquerda para a direita. Se $m < 0$, ela desce. Se $m = 0$, a reta é horizontal.

O que a fórmula da inclinação significa

O numerador $y_2 - y_1$ é a variação vertical, também chamada de subida. O denominador $x_2 - x_1$ é a variação horizontal, também chamada de avanço.

É por isso que a fórmula da inclinação e variação vertical sobre variação horizontal representam a mesma ideia. A fórmula é apenas a versão em coordenadas dessa razão.

Exemplo resolvido: encontrar a inclinação a partir de dois pontos

Encontre a inclinação da reta que passa por $(2, 3)$ e $(5, 9)$. Identifique o primeiro ponto como $(x_1, y_1)$ e o segundo como $(x_2, y_2)$.

Comece com a fórmula:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Substitua as coordenadas na mesma ordem:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Então a inclinação é $2$. Isso significa que, sempre que $x$ aumenta em $1$, $y$ aumenta em $2$.

Você também pode ver o mesmo resultado como variação vertical sobre variação horizontal. De $(2, 3)$ até $(5, 9)$, a variação vertical é $6$ e a horizontal é $3$, então

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

Da fórmula da inclinação para a forma inclinação-intercepto

Depois de conhecer a inclinação, você pode usar a forma inclinação-intercepto

$$y = mx + b$$

para escrever a equação da reta, desde que a reta não seja vertical.

Usando o exemplo acima, $m = 2$. Substitua um dos pontos, como $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Então a reta é

$$y = 2x - 1$$

A ligação é prática: a fórmula da inclinação fornece $m$, e a forma inclinação-intercepto usa essa inclinação para escrever a equação completa.

Erros comuns com a fórmula da inclinação

Um erro comum é subtrair os valores de $y$ em uma ordem e os valores de $x$ na ordem oposta. Se você usar $y_2 - y_1$, também deve usar $x_2 - x_1$.

Outro erro é dizer que uma reta vertical tem inclinação $0$. Uma reta horizontal tem inclinação $0$. Uma reta vertical tem inclinação indefinida porque o denominador se torna $0$.

Um terceiro erro é ignorar o sinal. Uma inclinação negativa significa que a reta desce à medida que $x$ aumenta.

Quando usar a fórmula da inclinação

Use a fórmula da inclinação quando você conhece dois pontos de uma reta e quer sua taxa de variação. Isso aparece em álgebra, geometria analítica, construção de gráficos e em qualquer relação linear em que mudanças iguais em $x$ produzem uma mudança constante em $y$.

Se o gráfico não for uma linha reta, a inclinação entre dois pontos é apenas a inclinação da reta secante entre esses pontos. Não é uma única inclinação constante para o gráfico inteiro.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com os pontos $(1, -2)$ e $(4, 7)$. Encontre primeiro a inclinação e depois use um ponto para escrever a equação na forma inclinação-intercepto. Se quiser ver outro caso logo em seguida, continue com How To Find Slope ou Slope Intercept Form.