Rumus Gradien: Naik per Geser dan Bentuk Gradien-Titik Potong

Rumus gradien memberikan gradien suatu garis dari dua titik:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Gunakan rumus ini saat kamu mengetahui dua titik pada garis yang sama dan ingin mencari kemiringan garis, atau laju perubahannya. Dalam bahasa sederhana, gradien adalah naik per geser: perubahan pada $y$ dibagi perubahan pada $x$.

Ini hanya berlaku ketika $x_2 \ne x_1$. Jika dua titik memiliki nilai $x$ yang sama, garisnya vertikal, sehingga penyebutnya $0$ dan gradiennya tidak terdefinisi.

Jika $m > 0$, garis naik dari kiri ke kanan. Jika $m < 0$, garis turun. Jika $m = 0$, garisnya horizontal.

Apa arti rumus gradien

Pembilang $y_2 - y_1$ adalah perubahan vertikal, yang juga disebut naik. Penyebut $x_2 - x_1$ adalah perubahan horizontal, yang juga disebut geser.

Itulah sebabnya rumus gradien dan naik per geser adalah gagasan yang sama. Rumus ini hanyalah versi koordinat dari perbandingan tersebut.

Contoh soal: mencari gradien dari dua titik

Carilah gradien garis yang melalui $(2, 3)$ dan $(5, 9)$. Labeli titik pertama sebagai $(x_1, y_1)$ dan titik kedua sebagai $(x_2, y_2)$.

Mulai dengan rumus:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Substitusikan koordinat dalam urutan yang sama:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Jadi gradiennya adalah $2$. Artinya, setiap kali $x$ bertambah $1$, $y$ bertambah $2$.

Kamu juga bisa melihat hasil yang sama sebagai naik per geser. Dari $(2, 3)$ ke $(5, 9)$, nilai naik adalah $6$ dan nilai geser adalah $3$, sehingga

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

Dari rumus gradien ke bentuk gradien-titik potong

Setelah mengetahui gradien, kamu bisa menggunakan bentuk gradien-titik potong

$$y = mx + b$$

untuk menuliskan persamaan garis, selama garis tersebut tidak vertikal.

Menggunakan contoh di atas, $m = 2$. Substitusikan satu titik, misalnya $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Jadi garisnya adalah

$$y = 2x - 1$$

Hubungannya bersifat praktis: rumus gradien memberimu nilai $m$, dan bentuk gradien-titik potong menggunakan gradien itu untuk menulis persamaan lengkapnya.

Kesalahan umum pada rumus gradien

Salah satu kesalahan umum adalah mengurangkan nilai $y$ dalam satu urutan tetapi nilai $x$ dalam urutan yang berlawanan. Jika kamu menggunakan $y_2 - y_1$, maka kamu juga harus menggunakan $x_2 - x_1$.

Kesalahan lain adalah mengatakan bahwa garis vertikal memiliki gradien $0$. Garis horizontal memiliki gradien $0$. Garis vertikal memiliki gradien yang tidak terdefinisi karena penyebutnya menjadi $0$.

Kesalahan ketiga adalah mengabaikan tanda. Gradien negatif berarti garis bergerak turun saat $x$ bertambah.

Kapan menggunakan rumus gradien

Gunakan rumus gradien saat kamu mengetahui dua titik pada sebuah garis dan ingin mencari laju perubahannya. Ini sering muncul dalam aljabar, geometri koordinat, pembuatan grafik, dan hubungan linear apa pun ketika perubahan yang sama pada $x$ menghasilkan perubahan tetap pada $y$.

Jika grafiknya bukan garis lurus, gradien antara dua titik hanyalah gradien garis secan di antara titik-titik tersebut. Itu bukan satu gradien konstan untuk seluruh grafik.

Coba soal serupa

Cobalah versimu sendiri dengan titik $(1, -2)$ dan $(4, 7)$. Cari gradiennya terlebih dahulu, lalu gunakan satu titik untuk menulis persamaan dalam bentuk gradien-titik potong. Jika kamu ingin contoh lain setelah ini, lanjutkan ke How To Find Slope atau Slope Intercept Form.