Τύπος κλίσης: μεταβολή στο y προς μεταβολή στο x και μορφή κλίσης-τομής

Ο τύπος κλίσης δίνει την κλίση μιας ευθείας από δύο σημεία:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Τον χρησιμοποιείς όταν γνωρίζεις δύο σημεία της ίδιας ευθείας και θέλεις να βρεις πόσο απότομη είναι, δηλαδή τον ρυθμό μεταβολής της. Με απλά λόγια, η κλίση είναι η μεταβολή στο $y$ προς τη μεταβολή στο $x$: η αλλαγή στο $y$ διαιρεμένη με την αλλαγή στο $x$.

Αυτό ισχύει μόνο όταν $x_2 \ne x_1$. Αν τα δύο σημεία έχουν την ίδια τιμή του $x$, η ευθεία είναι κατακόρυφη, άρα ο παρονομαστής είναι $0$ και η κλίση δεν ορίζεται.

Αν $m > 0$, η ευθεία ανεβαίνει από αριστερά προς τα δεξιά. Αν $m < 0$, κατεβαίνει. Αν $m = 0$, η ευθεία είναι οριζόντια.

Τι σημαίνει ο τύπος κλίσης

Ο αριθμητής $y_2 - y_1$ είναι η κατακόρυφη μεταβολή, που λέγεται και μεταβολή στο $y$. Ο παρονομαστής $x_2 - x_1$ είναι η οριζόντια μεταβολή, που λέγεται και μεταβολή στο $x$.

Γι’ αυτό ο τύπος κλίσης και η μεταβολή στο $y$ προς τη μεταβολή στο $x$ είναι η ίδια ιδέα. Ο τύπος είναι απλώς η εκδοχή αυτού του λόγου σε συντεταγμένες.

Λυμένο παράδειγμα: βρες την κλίση από δύο σημεία

Βρες την κλίση της ευθείας που περνά από τα $(2, 3)$ και $(5, 9)$. Ονόμασε το πρώτο σημείο $(x_1, y_1)$ και το δεύτερο $(x_2, y_2)$.

Ξεκίνα με τον τύπο:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Αντικατάστησε τις συντεταγμένες με την ίδια σειρά:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Άρα η κλίση είναι $2$. Αυτό σημαίνει ότι κάθε φορά που το $x$ αυξάνεται κατά $1$, το $y$ αυξάνεται κατά $2$.

Μπορείς να δεις το ίδιο αποτέλεσμα και ως μεταβολή στο $y$ προς μεταβολή στο $x$. Από το $(2, 3)$ στο $(5, 9)$, η μεταβολή στο $y$ είναι $6$ και η μεταβολή στο $x$ είναι $3$, οπότε

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

Από τον τύπο κλίσης στη μορφή κλίσης-τομής

Μόλις βρεις την κλίση, μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη μορφή κλίσης-τομής

$$y = mx + b$$

για να γράψεις την εξίσωση της ευθείας, αρκεί η ευθεία να μην είναι κατακόρυφη.

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω παράδειγμα, $m = 2$. Αντικατάστησε ένα σημείο, όπως το $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Άρα η ευθεία είναι

$$y = 2x - 1$$

Η σύνδεση είναι πρακτική: ο τύπος κλίσης σου δίνει το $m$, και η μορφή κλίσης-τομής χρησιμοποιεί αυτή την κλίση για να γράψει ολόκληρη την εξίσωση.

Συνηθισμένα λάθη με τον τύπο κλίσης

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι να αφαιρείς τις τιμές του $y$ με μία σειρά και τις τιμές του $x$ με την αντίθετη σειρά. Αν χρησιμοποιήσεις $y_2 - y_1$, πρέπει επίσης να χρησιμοποιήσεις $x_2 - x_1$.

Ένα άλλο λάθος είναι να λες ότι μια κατακόρυφη ευθεία έχει κλίση $0$. Μια οριζόντια ευθεία έχει κλίση $0$. Μια κατακόρυφη ευθεία έχει μη ορισμένη κλίση, επειδή ο παρονομαστής γίνεται $0$.

Ένα τρίτο λάθος είναι να αγνοείς το πρόσημο. Αρνητική κλίση σημαίνει ότι η ευθεία κατεβαίνει καθώς το $x$ αυξάνεται.

Πότε να χρησιμοποιείς τον τύπο κλίσης

Χρησιμοποίησε τον τύπο κλίσης όταν γνωρίζεις δύο σημεία μιας ευθείας και θέλεις τον ρυθμό μεταβολής της. Αυτό εμφανίζεται στην άλγεβρα, στην αναλυτική γεωμετρία, στις γραφικές παραστάσεις και σε κάθε γραμμική σχέση όπου ίσες μεταβολές στο $x$ προκαλούν σταθερή μεταβολή στο $y$.

Αν η γραφική παράσταση δεν είναι ευθεία γραμμή, η κλίση ανάμεσα σε δύο σημεία είναι μόνο η κλίση της τέμνουσας ευθείας ανάμεσα σε αυτά τα σημεία. Δεν είναι μία σταθερή κλίση για ολόκληρη τη γραφική παράσταση.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με τα σημεία $(1, -2)$ και $(4, 7)$. Βρες πρώτα την κλίση και μετά χρησιμοποίησε ένα σημείο για να γράψεις την εξίσωση στη μορφή κλίσης-τομής. Αν θέλεις άλλο ένα παράδειγμα αμέσως μετά, συνέχισε με το How To Find Slope ή το Slope Intercept Form.