Wzór na nachylenie prostej: przyrost w górę do przyrostu w bok i postać

Wzór na nachylenie prostej pozwala obliczyć nachylenie prostej na podstawie dwóch punktów:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Użyj go, gdy znasz dwa punkty leżące na tej samej prostej i chcesz wyznaczyć jej stromość, czyli tempo zmian. Mówiąc prosto, nachylenie to przyrost w górę do przyrostu w bok: zmiana $y$ podzielona przez zmianę $x$.

To działa tylko wtedy, gdy $x_2 \ne x_1$. Jeśli oba punkty mają tę samą wartość $x$, prosta jest pionowa, więc mianownik wynosi $0$, a nachylenie jest nieokreślone.

Jeśli $m > 0$, prosta rośnie od lewej do prawej. Jeśli $m < 0$, opada. Jeśli $m = 0$, prosta jest pozioma.

Co oznacza wzór na nachylenie prostej

Licznik $y_2 - y_1$ to zmiana pionowa, nazywana też przyrostem w górę. Mianownik $x_2 - x_1$ to zmiana pozioma, nazywana też przyrostem w bok.

Dlatego wzór na nachylenie prostej i „przyrost w górę do przyrostu w bok” oznaczają tę samą ideę. Wzór jest po prostu współrzędnościową wersją tego ilorazu.

Przykład: wyznaczanie nachylenia z dwóch punktów

Wyznacz nachylenie prostej przechodzącej przez punkty $(2, 3)$ i $(5, 9)$. Oznacz pierwszy punkt jako $(x_1, y_1)$, a drugi jako $(x_2, y_2)$.

Zacznij od wzoru:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Podstaw współrzędne w tej samej kolejności:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Zatem nachylenie wynosi $2$. Oznacza to, że gdy $x$ wzrasta o $1$, to $y$ wzrasta o $2$.

Ten sam wynik można zobaczyć jako przyrost w górę do przyrostu w bok. Od $(2, 3)$ do $(5, 9)$ przyrost w górę wynosi $6$, a przyrost w bok $3$, więc

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

Od wzoru na nachylenie do postaci kierunkowej

Gdy znasz już nachylenie, możesz użyć postaci kierunkowej

$$y = mx + b$$

aby zapisać równanie prostej, o ile prosta nie jest pionowa.

W powyższym przykładzie $m = 2$. Podstaw jeden z punktów, na przykład $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Zatem równanie prostej ma postać

$$y = 2x - 1$$

Ten związek jest praktyczny: wzór na nachylenie daje wartość $m$, a postać kierunkowa wykorzystuje to nachylenie do zapisania pełnego równania.

Typowe błędy przy stosowaniu wzoru na nachylenie

Jednym z częstych błędów jest odejmowanie wartości $y$ w jednej kolejności, a wartości $x$ w odwrotnej. Jeśli używasz $y_2 - y_1$, musisz też użyć $x_2 - x_1$.

Innym błędem jest twierdzenie, że prosta pionowa ma nachylenie $0$. Nachylenie $0$ ma prosta pozioma. Prosta pionowa ma nachylenie nieokreślone, ponieważ mianownik staje się równy $0$.

Trzecim błędem jest ignorowanie znaku. Ujemne nachylenie oznacza, że prosta opada, gdy $x$ rośnie.

Kiedy używać wzoru na nachylenie prostej

Użyj wzoru na nachylenie, gdy znasz dwa punkty na prostej i chcesz wyznaczyć tempo zmian. Pojawia się to w algebrze, geometrii analitycznej, rysowaniu wykresów i w każdej zależności liniowej, w której jednakowym zmianom $x$ odpowiada stała zmiana $y$.

Jeśli wykres nie jest linią prostą, nachylenie między dwoma punktami jest tylko nachyleniem siecznej przechodzącej przez te punkty. Nie jest to jedno stałe nachylenie dla całego wykresu.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie dla punktów $(1, -2)$ i $(4, 7)$. Najpierw wyznacz nachylenie, a potem użyj jednego punktu, aby zapisać równanie w postaci kierunkowej. Jeśli chcesz od razu przejść do podobnego przypadku, zobacz How To Find Slope lub Slope Intercept Form.