สูตรหาระยะทางระหว่างสองจุดใน 2D และ 3D

สูตรหาระยะทางใช้หาความยาวเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดบนระนาบพิกัดหรือในปริภูมิ 3 มิติ สำหรับจุด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$ ใน 2D

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

สำหรับจุด $(x_1, y_1, z_1)$ และ $(x_2, y_2, z_2)$ ใน 3D

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

ใช้สูตรนี้เมื่อคุณต้องการความยาวจริงระหว่างสองจุด ไม่ใช่เพียงการเปลี่ยนแปลงในแนวนอนหรือแนวตั้งเท่านั้น สูตรนี้ใช้ได้ในพิกัดคาร์ทีเซียนมาตรฐานเมื่อแต่ละแกนใช้หน่วยสเกลเดียวกัน

สูตรหาระยะทางใน 2D วัดอะไร

สูตรนี้รวมการเปลี่ยนแปลงที่ตั้งฉากกันสองส่วน คือ เคลื่อนที่ไปในแกน $x$ เท่าไร และเคลื่อนที่ไปในแกน $y$ เท่าไร การเปลี่ยนแปลงทั้งสองนี้เป็นด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และระยะทางระหว่างจุดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทำไมสูตรหาระยะทางจึงใช้ได้

บนระนาบ สูตรหาระยะทางมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยตรง ถ้า

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

และ

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

แล้ว

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

ดังนั้น

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

ดังนั้นสูตรนี้จึงไม่ใช่กฎแยกต่างหากที่ต้องท่องจำ แต่เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เขียนในรูปของพิกัด

ใน 3D คุณเพียงเพิ่มการเปลี่ยนแปลงที่ตั้งฉากกันอีกหนึ่งส่วน:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

นี่คือแนวคิดเดียวกันที่ขยายไปอีกหนึ่งมิติ

ตัวอย่างโจทย์: ระยะทางระหว่างสองจุด

หาระยะทางระหว่าง $(1, 2)$ และ $(5, 7)$

เริ่มจากสูตรหาระยะทางใน 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

แทนค่าพิกัด:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

จัดรูปผลต่าง:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

ยกกำลังสองและบวก:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

ดังนั้นระยะทางที่แน่นอนคือ $\sqrt{41}$ และในรูปทศนิยม $d \approx 6.4$

การตรวจสอบอย่างรวดเร็วช่วยได้ จุดทั้งสองห่างกัน $4$ หน่วยในแนวนอน และ $5$ หน่วยในแนวตั้ง ดังนั้นระยะเส้นตรงควรมากกว่า $5$ แต่น้อยกว่า $9$ ซึ่ง $\sqrt{41}$ ก็สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้

สูตรหาระยะทางใน 3D

การตั้งโจทย์เหมือนเดิม แต่ตอนนี้คุณต้องรวมการเปลี่ยนแปลงในแกน $z$ ด้วย

ตัวอย่างเช่น ระหว่าง $(1, 2, 3)$ และ $(5, 7, 6)$ การเปลี่ยนแปลงของพิกัดคือ $4$, $5$ และ $3$ ดังนั้น

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

วิธีทำไม่เปลี่ยน คุณลบพิกัดที่ตรงกัน ยกกำลังสองผลต่าง นำมาบวกกัน แล้วถอดรากที่สองเป็นค่าบวก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับสูตรหาระยะทาง

1. ยกกำลังสองก่อนลบ สูตรใช้ $(x_2 - x_1)^2$ ไม่ใช่ $x_2^2 - x_1^2$
2. ลืมถอดรากที่สอง ถ้าคุณหยุดหลังจากบวกค่ากำลังสอง แสดงว่าคุณหาได้แค่ $d^2$ ไม่ใช่ $d$
3. จับคู่แกนผิด พิกัด $x$ ต้องจับคู่กับพิกัด $x$ อีกจุด และเช่นเดียวกันกับ $y$ และ $z$
4. ทำเครื่องหมายลบหายตอนแทนค่า ตัวอย่างเช่น $-1 - 3 = -4$ ไม่ใช่ $4$
5. ใช้สูตรนี้ทั้งที่กราฟไม่ได้ใช้ระยะทางแบบคาร์ทีเซียนมาตรฐาน ถ้าแกนใช้สเกลต่างกัน ระยะทางเชิงเรขาคณิตจะเปลี่ยนไป

คุณใช้สูตรหาระยะทางเมื่อไร

คุณใช้สูตรหาระยะทางในเรขาคณิตวิเคราะห์เมื่อโจทย์ให้จุดสองจุดมา และถามหาความยาวของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดทั้งสอง

กรณีที่พบบ่อย ได้แก่ การหาความยาวด้านบนกราฟ การตรวจสอบว่าจุดอยู่บนวงกลมหรือไม่ การเปรียบเทียบระยะจากจุดศูนย์กลาง และการวัดระยะเส้นตรงในเรขาคณิต 3 มิติ

ตรวจเร็ว ๆ ก่อนเชื่อคำตอบ

ให้ถามตัวเองสองข้อ:

1. ฉันลบก่อนแล้วค่อยยกกำลังสองหรือไม่?
2. ระยะทางสุดท้ายมีขนาดสมเหตุสมผลเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของพิกัดหรือไม่?

การตรวจสองข้อนี้ช่วยจับข้อผิดพลาดส่วนใหญ่ได้อย่างรวดเร็ว

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

หาระยะทางระหว่าง $(-2, 3)$ และ $(4, -1)$ ใน 2D จากนั้นเปรียบเทียบการตั้งโจทย์ของคุณกับ Midpoint Formula เพื่อดูความแตกต่างระหว่างการหาความยาวกับการหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง