斜率公式：升高比水平位移与斜截式

斜率公式可以根据两个点求出一条直线的斜率：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

当你知道同一直线上的两个点，并且想求这条直线的陡峭程度，也就是变化率时，就可以使用它。通俗地说，斜率就是“升高比水平位移”：$y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量。

这个公式只在 $x_2 \ne x_1$ 时成立。如果两个点的 $x$ 值相同，那么这条直线就是竖直线，分母为 $0$，所以斜率不存在。

如果 $m > 0$，直线从左到右上升。如果 $m < 0$，直线从左到右下降。如果 $m = 0$，直线就是水平线。

斜率公式的含义

分子 $y_2 - y_1$ 是竖直方向的变化量，也叫作升高量。分母 $x_2 - x_1$ 是水平方向的变化量，也叫作水平位移。

这就是为什么斜率公式和“升高比水平位移”表达的是同一个意思。这个公式只是把这个比值写成了坐标形式。

例题：由两个点求斜率

求经过 $(2, 3)$ 和 $(5, 9)$ 的直线的斜率。把第一个点记为 $(x_1, y_1)$，第二个点记为 $(x_2, y_2)$。

先写出公式：

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

按相同顺序代入坐标：

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

所以斜率是 $2$。这表示每当 $x$ 增加 $1$ 时，$y$ 就增加 $2$。

你也可以把它看成“升高比水平位移”。从 $(2, 3)$ 到 $(5, 9)$，升高量是 $6$，水平位移是 $3$，所以

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

从斜率公式到斜截式

一旦知道了斜率，就可以使用斜截式

$$y = mx + b$$

来写出直线方程，只要这条直线不是竖直线。

在上面的例子中，$m = 2$。代入其中一个点，比如 $(2, 3)$：

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

所以这条直线是

$$y = 2x - 1$$

它们之间的联系很实用：斜率公式可以求出 $m$，而斜截式则利用这个斜率写出完整的直线方程。

使用斜率公式时的常见错误

一个常见错误是，$y$ 值按一种顺序相减，而 $x$ 值却按相反顺序相减。如果你用的是 $y_2 - y_1$，那么也必须用 $x_2 - x_1$。

另一个错误是认为竖直线的斜率是 $0$。水平线的斜率才是 $0$。竖直线的斜率不存在，因为分母会变成 $0$。

第三个错误是忽略符号。负斜率表示随着 $x$ 增加，直线向下走。

什么时候使用斜率公式

当你知道一条直线上的两个点，并且想求它的变化率时，就使用斜率公式。这在代数、解析几何、作图，以及任何 $x$ 的相等变化会带来 $y$ 的固定变化的线性关系中都会出现。

如果图像不是直线，那么两点之间的斜率只是这两点间割线的斜率。它不是整张图像都适用的一个固定斜率。

试一试类似的问题

你可以自己试试点 $(1, -2)$ 和 $(4, 7)$。先求斜率，再利用其中一个点写出斜截式方程。如果你想马上继续练习，可以接着看 How To Find Slope 或 Slope Intercept Form。