기울기 공식: 변화량/변화량과 기울기-절편형

기울기 공식은 두 점으로부터 직선의 기울기를 구해 줍니다:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

같은 직선 위의 두 점을 알고 있을 때, 그 직선의 가파른 정도나 변화율을 알고 싶다면 이 공식을 사용합니다. 쉽게 말해 기울기는 세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값, 즉 $y$의 변화량을 $x$의 변화량으로 나눈 것입니다.

이 공식은 $x_2 \ne x_1$일 때만 성립합니다. 두 점의 $x$값이 같으면 직선은 수직선이므로 분모가 $0$이 되어 기울기는 정의되지 않습니다.

$m > 0$이면 직선은 왼쪽에서 오른쪽으로 올라갑니다. $m < 0$이면 내려갑니다. $m = 0$이면 직선은 수평선입니다.

기울기 공식의 의미

분자 $y_2 - y_1$은 세로 방향의 변화량이며, 이를 rise라고도 합니다. 분모 $x_2 - x_1$은 가로 방향의 변화량이며, 이를 run이라고도 합니다.

그래서 기울기 공식과 변화량/변화량은 같은 생각을 나타냅니다. 이 공식은 그 비율을 좌표로 표현한 형태일 뿐입니다.

풀이 예제: 두 점으로 기울기 구하기

$(2, 3)$과 $(5, 9)$를 지나는 직선의 기울기를 구해 봅시다. 첫 번째 점을 $(x_1, y_1)$, 두 번째 점을 $(x_2, y_2)$로 둡니다.

먼저 공식을 씁니다:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

좌표를 같은 순서로 대입합니다:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

따라서 기울기는 $2$입니다. 이는 $x$가 $1$ 증가할 때마다 $y$가 $2$ 증가한다는 뜻입니다.

같은 결과를 변화량/변화량으로도 볼 수 있습니다. $(2, 3)$에서 $(5, 9)$까지 세로 변화량은 $6$, 가로 변화량은 $3$이므로

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

기울기 공식에서 기울기-절편형으로

기울기를 알게 되면, 직선이 수직선이 아닌 한 기울기-절편형

$$y = mx + b$$

을 사용해 직선의 방정식을 쓸 수 있습니다.

위 예제에서 $m = 2$입니다. $(2, 3)$ 같은 한 점을 대입하면:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

따라서 직선은

$$y = 2x - 1$$

입니다.

이 연결은 실용적입니다. 기울기 공식으로 $m$을 구하고, 기울기-절편형은 그 기울기를 사용해 전체 직선의 방정식을 씁니다.

기울기 공식에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 $y$값은 한 순서로 빼고, $x$값은 반대 순서로 빼는 것입니다. $y_2 - y_1$을 사용했다면 반드시 $x_2 - x_1$도 사용해야 합니다.

또 다른 실수는 수직선의 기울기가 $0$이라고 말하는 것입니다. 기울기가 $0$인 것은 수평선입니다. 수직선은 분모가 $0$이 되므로 기울기가 정의되지 않습니다.

세 번째 실수는 부호를 무시하는 것입니다. 기울기가 음수이면 $x$가 증가할수록 직선은 아래로 내려갑니다.

기울기 공식을 언제 쓰나요?

직선 위의 두 점을 알고 있고 그 변화율을 구하고 싶을 때 기울기 공식을 사용합니다. 이는 대수, 좌표기하, 그래프, 그리고 $x$의 같은 변화가 $y$의 일정한 변화를 만드는 모든 선형 관계에서 자주 나옵니다.

그래프가 직선이 아니라면, 두 점 사이의 기울기는 그 두 점을 잇는 할선의 기울기일 뿐입니다. 그래프 전체에서 하나의 일정한 기울기라는 뜻은 아닙니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$(1, -2)$와 $(4, 7)$을 사용해 직접 해 보세요. 먼저 기울기를 구한 다음, 한 점을 이용해 기울기-절편형으로 방정식을 써 보세요. 바로 이어서 다른 경우도 보고 싶다면 How To Find Slope 또는 Slope Intercept Form을 계속 살펴보세요.