Steigungsformel: Anstieg durch Lauf und Steigungs-Achsenabschnittsform

Die Steigungsformel liefert die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Verwende sie, wenn du zwei Punkte auf derselben Geraden kennst und wissen willst, wie steil die Gerade ist, also ihre Änderungsrate. Einfach gesagt ist die Steigung Anstieg durch Lauf: die Änderung in $y$ geteilt durch die Änderung in $x$.

Das funktioniert nur, wenn $x_2 \ne x_1$. Haben die beiden Punkte denselben $x$-Wert, ist die Gerade vertikal, also ist der Nenner $0$ und die Steigung nicht definiert.

Wenn $m > 0$, steigt die Gerade von links nach rechts. Wenn $m < 0$, fällt sie. Wenn $m = 0$, ist die Gerade horizontal.

Was die Steigungsformel bedeutet

Der Zähler $y_2 - y_1$ ist die vertikale Änderung, auch Anstieg genannt. Der Nenner $x_2 - x_1$ ist die horizontale Änderung, auch Lauf genannt.

Deshalb sind die Steigungsformel und Anstieg durch Lauf dieselbe Idee. Die Formel ist einfach die Koordinatenversion dieses Verhältnisses.

Durchgerechnetes Beispiel: Steigung aus zwei Punkten bestimmen

Bestimme die Steigung der Geraden durch $(2, 3)$ und $(5, 9)$. Bezeichne den ersten Punkt als $(x_1, y_1)$ und den zweiten als $(x_2, y_2)$.

Beginne mit der Formel:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Setze die Koordinaten in derselben Reihenfolge ein:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Die Steigung ist also $2$. Das bedeutet: Immer wenn $x$ um $1$ zunimmt, nimmt $y$ um $2$ zu.

Du kannst dasselbe Ergebnis auch als Anstieg durch Lauf sehen. Von $(2, 3)$ nach $(5, 9)$ ist der Anstieg $6$ und der Lauf $3$, also

$$\frac{\text{Anstieg}}{\text{Lauf}} = \frac{6}{3} = 2$$

Von der Steigungsformel zur Steigungs-Achsenabschnittsform

Sobald du die Steigung kennst, kannst du die Steigungs-Achsenabschnittsform

$$y = mx + b$$

verwenden, um die Gleichung der Geraden aufzustellen, solange die Gerade nicht vertikal ist.

Im obigen Beispiel ist $m = 2$. Setze einen Punkt ein, zum Beispiel $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Die Gerade ist also

$$y = 2x - 1$$

Der Zusammenhang ist praktisch: Die Steigungsformel liefert dir $m$, und die Steigungs-Achsenabschnittsform verwendet diese Steigung, um die vollständige Gleichung zu schreiben.

Häufige Fehler bei der Steigungsformel

Ein häufiger Fehler ist, die $y$-Werte in einer Reihenfolge zu subtrahieren und die $x$-Werte in der umgekehrten Reihenfolge. Wenn du $y_2 - y_1$ verwendest, musst du auch $x_2 - x_1$ verwenden.

Ein weiterer Fehler ist zu sagen, eine vertikale Gerade habe die Steigung $0$. Eine horizontale Gerade hat die Steigung $0$. Eine vertikale Gerade hat eine nicht definierte Steigung, weil der Nenner zu $0$ wird.

Ein dritter Fehler ist, das Vorzeichen zu ignorieren. Eine negative Steigung bedeutet, dass die Gerade nach unten geht, wenn $x$ zunimmt.

Wann man die Steigungsformel verwendet

Verwende die Steigungsformel, wenn du zwei Punkte auf einer Geraden kennst und ihre Änderungsrate bestimmen willst. Das kommt in der Algebra, der Koordinatengeometrie, beim Zeichnen von Graphen und bei jeder linearen Beziehung vor, bei der gleiche Änderungen in $x$ eine konstante Änderung in $y$ erzeugen.

Wenn der Graph keine Gerade ist, dann ist die Steigung zwischen zwei Punkten nur die Steigung der Sekante zwischen diesen Punkten. Sie ist keine einzige konstante Steigung für den gesamten Graphen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Version mit den Punkten $(1, -2)$ und $(4, 7)$. Bestimme zuerst die Steigung und verwende dann einen Punkt, um die Gleichung in Steigungs-Achsenabschnittsform aufzustellen. Wenn du direkt danach noch einen weiteren Fall möchtest, lies weiter mit How To Find Slope oder Slope Intercept Form.