Fórmula de la pendiente: subida sobre avance y forma pendiente-intersección

La fórmula de la pendiente da la pendiente de una recta a partir de dos puntos:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Úsala cuando conoces dos puntos de la misma recta y quieres saber qué tan inclinada es, o su tasa de cambio. En lenguaje sencillo, la pendiente es subida sobre avance: el cambio en $y$ dividido entre el cambio en $x$.

Esto solo funciona cuando $x_2 \ne x_1$. Si los dos puntos tienen el mismo valor de $x$, la recta es vertical, así que el denominador es $0$ y la pendiente no está definida.

Si $m > 0$, la recta sube de izquierda a derecha. Si $m < 0$, baja. Si $m = 0$, la recta es horizontal.

Qué significa la fórmula de la pendiente

El numerador $y_2 - y_1$ es el cambio vertical, también llamado subida. El denominador $x_2 - x_1$ es el cambio horizontal, también llamado avance.

Por eso la fórmula de la pendiente y subida sobre avance son la misma idea. La fórmula es simplemente la versión en coordenadas de esa razón.

Ejemplo resuelto: hallar la pendiente con dos puntos

Halla la pendiente de la recta que pasa por $(2, 3)$ y $(5, 9)$. Etiqueta el primer punto como $(x_1, y_1)$ y el segundo como $(x_2, y_2)$.

Empieza con la fórmula:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Sustituye las coordenadas en el mismo orden:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Entonces la pendiente es $2$. Eso significa que cada vez que $x$ aumenta en $1$, $y$ aumenta en $2$.

También puedes ver el mismo resultado como subida sobre avance. De $(2, 3)$ a $(5, 9)$, la subida es $6$ y el avance es $3$, así que

$$\frac{\text{subida}}{\text{avance}} = \frac{6}{3} = 2$$

De la fórmula de la pendiente a la forma pendiente-intersección

Una vez que conoces la pendiente, puedes usar la forma pendiente-intersección

$$y = mx + b$$

para escribir la ecuación de la recta, siempre que la recta no sea vertical.

Usando el ejemplo anterior, $m = 2$. Sustituye un punto, como $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Entonces la recta es

$$y = 2x - 1$$

La conexión es práctica: la fórmula de la pendiente te da $m$, y la forma pendiente-intersección usa esa pendiente para escribir la ecuación completa.

Errores comunes con la fórmula de la pendiente

Un error común es restar los valores de $y$ en un orden y los valores de $x$ en el orden contrario. Si usas $y_2 - y_1$, también debes usar $x_2 - x_1$.

Otro error es decir que una recta vertical tiene pendiente $0$. Una recta horizontal tiene pendiente $0$. Una recta vertical tiene pendiente no definida porque el denominador se vuelve $0$.

Un tercer error es ignorar el signo. Una pendiente negativa significa que la recta baja a medida que $x$ aumenta.

Cuándo usar la fórmula de la pendiente

Usa la fórmula de la pendiente cuando conoces dos puntos de una recta y quieres su tasa de cambio. Esto aparece en álgebra, geometría analítica, graficación y cualquier relación lineal en la que cambios iguales en $x$ producen un cambio constante en $y$.

Si la gráfica no es una línea recta, la pendiente entre dos puntos es solo la pendiente de la recta secante entre esos puntos. No es una pendiente constante para toda la gráfica.

Prueba un problema similar

Prueba tu propia versión con los puntos $(1, -2)$ y $(4, 7)$. Halla primero la pendiente y luego usa un punto para escribir la ecuación en forma pendiente-intersección. Si quieres otro caso justo después de este, continúa con How To Find Slope o Slope Intercept Form.