รูปแบบจุด-ความชัน

รูปแบบจุด-ความชันคือสูตรของสมการเส้นตรง

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ใช้เมื่อคุณรู้หนึ่งจุดบนเส้นตรงที่ไม่เป็นเส้นตั้ง และรู้ค่าความชัน ในสูตรนี้ $(x_1, y_1)$ คือจุดที่ทราบ และ $m$ คือความชัน มักเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการเขียนสมการก่อนจะแปลงเป็นรูปแบบความชัน-จุดตัดแกน

รูปแบบจุด-ความชันหมายถึงอะไร

ความชันเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งกับการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน ถ้าเส้นตรงมีความชัน $m$ จะได้ว่า

$$m = \frac{y - y_1}{x - x_1}$$

ตราบใดที่ $x \ne x_1$ คูณทั้งสองข้างด้วย $x - x_1$ จะได้

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

ดังนั้น รูปแบบจุด-ความชันก็คือนิยามของความชันที่เขียนใหม่ โดยยังมองเห็นจุดที่ทราบอยู่ชัดเจน

ทำไมสูตรนี้จึงมีประโยชน์

ให้คิดว่า $(x_1, y_1)$ เป็นจุดอ้างอิง นิพจน์ $x - x_1$ บอกว่าคุณเลื่อนในแนวนอนจากจุดนั้นไปไกลแค่ไหน เมื่อนำไปคูณด้วย $m$ ก็จะได้การเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งที่สอดคล้องกัน ดังนั้น $y - y_1$ จึงต้องเท่ากับ $m(x - x_1)$

นี่จึงเป็นเหตุผลที่รูปแบบนี้ดูตรงไปตรงมา: เริ่มจากจุดที่รู้หนึ่งจุด แล้วสร้างเส้นตรงจากความชันของมัน

ตัวอย่างทำโจทย์: เขียนสมการเส้นตรงจากจุดและความชัน

จงหาสมการของเส้นตรงที่มีความชัน $-4$ และผ่านจุด $(2, 3)$

เริ่มจากสูตร:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

แทนค่า $m = -4$, $x_1 = 2$, และ $y_1 = 3$:

$$y - 3 = -4(x - 2)$$

นี่ก็เป็นคำตอบสุดท้ายที่ถูกต้องแล้วในรูปแบบจุด-ความชัน

ถ้าต้องการรูปแบบความชัน-จุดตัดแกน ให้กระจายพจน์:

$$y - 3 = -4x + 8$$ $$y = -4x + 11$$

สมการทั้งสองอธิบายเส้นตรงเส้นเดียวกัน รูปแบบจุด-ความชันและรูปแบบความชัน-จุดตัดแกนเป็นเพียงคนละวิธีในการเขียนความสัมพันธ์เดียวกัน

การตรวจสอบอย่างรวดเร็วช่วยป้องกันข้อผิดพลาดได้ แทนค่าจุดที่โจทย์ให้ลงไป:

$$y - 3 = -4(2 - 2) = 0$$

ดังนั้น $y = 3$ ซึ่งตรงกับจุดเดิม $(2, 3)$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในรูปแบบจุด-ความชัน

1. สลับค่าของจุด ถ้าจุดคือ $(2, 3)$ ต้องเขียน $y - 3$ และ $x - 2$ ไม่ใช่ $y - 2$ และ $x - 3$
2. ลืมเครื่องหมายลบเมื่อพิกัดเป็นลบ ถ้าจุดคือ $(-1, 5)$ แล้ว $x - (-1)$ จะกลายเป็น $x + 1$
3. คิดว่าสมการต้องจัดรูปเสมอ $y - 3 = -4(x - 2)$ ก็เป็นสมการเส้นตรงที่ใช้ได้ถูกต้องอยู่แล้ว
4. ใช้รูปแบบจุด-ความชันกับเส้นตรงแนวตั้ง เส้นตรงแนวตั้งมีความชันไม่กำหนด จึงเขียนเป็น $x = c$ แทน

ควรใช้รูปแบบจุด-ความชันเมื่อไร

ใช้รูปแบบจุด-ความชันเมื่อรู้ทั้งสองอย่างนี้:

1. หนึ่งจุดบนเส้นตรงที่ไม่เป็นเส้นตั้ง
2. ความชันของเส้นตรงนั้น

รูปแบบนี้พบได้บ่อยในโจทย์พีชคณิตและเรขาคณิตวิเคราะห์ เพราะหลายคำถามให้ข้อมูลแบบนี้มาโดยตรง นอกจากนี้ยังมีประโยชน์หลังจากที่คุณคำนวณความชันจากสองจุดแล้ว และยังต้องหาสมการของเส้นตรงต่อ

ตรวจเร็ว ๆ ก่อนทำข้อต่อไป

ย้อนกลับไปดูจุดที่โจทย์ให้มา ถ้าคุณมองไม่เห็นจุดนั้นอย่างชัดเจนใน $y - y_1 = m(x - x_1)$ หรือเมื่อลองแทนค่าแล้วสมการสองข้างไม่เท่ากัน ก็มีโอกาสสูงว่าคุณแทนค่าผิด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองเขียนสมการเส้นตรงที่มีความชัน $\frac{1}{2}$ และผ่านจุด $(-4, 1)$ เขียนในรูปแบบจุด-ความชันก่อน แล้วค่อยแปลงก็ต่อเมื่อคุณต้องการรูปแบบความชัน-จุดตัดแกน ถ้าอยากลองอีกกรณีหนึ่ง ให้ไปดูรูปแบบความชัน-จุดตัดแกนต่อ แล้วเปรียบเทียบว่าเส้นตรงเดียวกันมีหน้าตาอย่างไรในทั้งสองรูปแบบ