วิธีหาความชัน

การหาความชัน ให้หารการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ด้วยการเปลี่ยนแปลงของ $x$ ถ้าคุณรู้พิกัดสองจุด ให้ใช้สูตรความชัน

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

โดยที่ $x_2 \ne x_1$ แนวคิดนี้เหมือนกับ rise over run คือเส้นตรงขึ้นหรือลงมากแค่ไหนเมื่อเทียบกับการไปทางขวาเท่าไร

ความชันบอกว่าเส้นตรงเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน ความชันเป็นบวกหมายถึงเส้นตรงสูงขึ้นจากซ้ายไปขวา ความชันเป็นลบหมายถึงเส้นตรงลดลง และความชันเท่ากับ $0$ หมายถึงเส้นตรงเป็นแนวนอน

ถ้า $x_2 - x_1 = 0$ แสดงว่าเส้นตรงเป็นแนวตั้ง ในกรณีนั้นความชันจะไม่กำหนด เพราะสูตรจะต้องมีการหารด้วย $0$

ความชันหมายถึงอะไร

ความชันคืออัตราการเปลี่ยนแปลง มันเปรียบเทียบว่า $y$ เปลี่ยนไปเท่าไรเมื่อเทียบกับ $x$ ที่เปลี่ยนไปเท่าไร

นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ความชันปรากฏในพีชคณิต กราฟ และตารางข้อมูล แนวคิดเดียวกันนี้ใช้ได้ทุกที่ที่ความสัมพันธ์เปลี่ยนแปลงด้วยอัตราคงที่

วิธีหาความชันจากสองจุด

ใช้ลำดับการลบแบบเดียวกันทั้งในเศษและส่วน:

1. เลือกสองจุด
2. ลบค่า $y$ เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงของ $y$
3. ลบค่า $x$ ในลำดับเดียวกันเพื่อหาการเปลี่ยนแปลงของ $x$
4. หาร
5. ทำให้อยู่ในรูปอย่างต่ำถ้าทำได้

ถ้าคุณสลับลำดับการลบทั้งสองส่วน ความชันจะยังคงเดิม แต่ถ้าสลับเพียงส่วนเดียว เครื่องหมายจะผิด

ตัวอย่างทำโจทย์: หาความชันระหว่างสองจุด

หาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $(2, 3)$ และ $(5, 9)$

เริ่มจากสูตร:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

แทนค่าพิกัดโดยใช้ลำดับเดียวกัน:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

ดังนั้นความชันคือ $2$ นั่นหมายความว่าทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มขึ้น $1$ ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้น $2$

คุณยังอ่านค่านี้ในแบบ rise over run ได้เช่นกัน จาก $(2, 3)$ ไป $(5, 9)$ เส้นตรงขึ้น $6$ และไปทางขวา $3$ ดังนั้นความชันคือ $6/3 = 2$

วิธีหาความชันจากกราฟ

เลือกจุดตัดตารางที่เห็นชัดสองจุดบนเส้นตรง นับการเปลี่ยนแปลงในแนวตั้งก่อน แล้วจึงนับการเปลี่ยนแปลงในแนวนอน

ถ้าคุณขยับขึ้น $4$ และไปทางขวา $2$ ความชันคือ

$$\frac{4}{2} = 2$$

ถ้าคุณขยับลง $3$ และไปทางขวา $1$ ความชันคือ

$$\frac{-3}{1} = -3$$

การใช้จุดตัดของเส้นตารางช่วยลดความผิดพลาดในการนับได้

วิธีหาความชันจากตาราง

ตารางจะให้ค่าความชันได้ก็ต่อเมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่ เลือกสองแถวแล้วคำนวณ

$$\frac{\text{change in } y}{\text{change in } x}$$

ถ้าคุณได้ค่าเดียวกันจากหลายคู่ของแถว แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นเชิงเส้น และค่าคงที่นั้นก็คือความชัน

ตัวอย่างเช่น ถ้า $x$ เพิ่มจาก $1$ เป็น $3$ ขณะที่ $y$ เพิ่มจาก $4$ เป็น $10$ จะได้ว่า

$$m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาความชัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือการลบคนละลำดับ ถ้าคุณใช้ $y_2 - y_1$ คุณก็ต้องใช้ $x_2 - x_1$ ด้วย

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือคิดว่าความชันของเส้นตรงแนวตั้งเท่ากับ $0$ ถ้าสองจุดมีค่า $x$ เท่ากัน ส่วนจะเป็น $0$ ดังนั้นความชันจึงไม่กำหนด

ข้อผิดพลาดข้อที่สามคือคิดว่าตารางใด ๆ ก็มีความชัน ตารางจะมีความชันค่าเดียวได้ก็ต่อเมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่เท่านั้น

ความชันถูกใช้เมื่อไร

ความชันถูกใช้ทุกครั้งที่คุณต้องการอธิบายว่าปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเทียบกับอีกปริมาณหนึ่ง คุณจะพบมันในการเขียนกราฟเส้นตรง การเขียนสมการเชิงเส้น สูตรฟิสิกส์ที่มีอัตราคงที่ และตารางข้อมูลที่เป็นไปตามรูปแบบเชิงเส้น

ลองทำด้วยตัวเอง

หาความชันระหว่าง $(1, -2)$ และ $(4, 7)$ เขียนขั้นตอนการลบก่อนทำให้อยู่ในรูปอย่างต่ำ แล้วตัดสินใจว่าเส้นตรงสูงขึ้นหรือลดลงเมื่อ $x$ เพิ่มขึ้น

ถ้าคุณอยากลองอีกกรณีหนึ่ง ให้สร้างตัวอย่างของตัวเองโดยใช้สองจุดใหม่ และตรวจสอบก่อนว่าส่วนไม่เป็นศูนย์ก่อนที่จะหาร