Eğim Formülü: Yükselme Bölü Yatay Değişim ve Eğim-Kesişim Formu

Eğim formülü, bir doğrunun eğimini iki noktadan bulur:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Aynı doğru üzerindeki iki noktayı bildiğinizde ve doğrunun ne kadar dik olduğunu ya da değişim oranını bulmak istediğinizde bu formülü kullanırsınız. Basitçe söylemek gerekirse eğim, yükselme bölü yatay değişimdir: $y$'deki değişimin $x$'teki değişime bölünmesi.

Bu yalnızca $x_2 \ne x_1$ olduğunda geçerlidir. İki noktanın $x$ değeri aynıysa doğru diktir, bu yüzden payda $0$ olur ve eğim tanımsızdır.

Eğer $m > 0$ ise doğru soldan sağa yükselir. Eğer $m < 0$ ise alçalır. Eğer $m = 0$ ise doğru yataydır.

Eğim formülü ne anlama gelir

Pay $y_2 - y_1$, dikey değişimdir ve buna yükselme de denir. Payda $x_2 - x_1$ ise yatay değişimdir ve buna yatay ilerleme de denir.

Bu yüzden eğim formülü ile yükselme bölü yatay değişim aynı fikri anlatır. Formül, bu oranın sadece koordinatlarla yazılmış halidir.

Çözümlü örnek: iki noktadan eğimi bulma

$(2, 3)$ ve $(5, 9)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun. İlk noktayı $(x_1, y_1)$, ikinci noktayı ise $(x_2, y_2)$ olarak etiketleyin.

Formülle başlayın:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Koordinatları aynı sırayla yerine yazın:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Buna göre eğim $2$'dir. Bu, $x$ her $1$ arttığında $y$'nin $2$ arttığı anlamına gelir.

Aynı sonucu yükselme bölü yatay değişim olarak da görebilirsiniz. $(2, 3)$ noktasından $(5, 9)$ noktasına giderken yükselme $6$, yatay değişim $3$ olur, yani

$$\frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{6}{3} = 2$$

Eğim formülünden eğim-kesişim formuna

Eğimi bulduktan sonra, doğru dik olmadığı sürece

$$y = mx + b$$

eğim-kesişim formunu kullanarak doğrunun denklemini yazabilirsiniz.

Yukarıdaki örnekte $m = 2$. $(2, 3)$ gibi bir noktayı yerine yazın:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

O halde doğru

$$y = 2x - 1$$

olur.

Bağlantı pratiktir: eğim formülü size $m$ değerini verir, eğim-kesişim formu ise bu eğimi kullanarak tam denklemi yazar.

Eğim formülünde sık yapılan hatalar

Yaygın hatalardan biri, $y$ değerlerini bir sırayla çıkarırken $x$ değerlerini ters sırayla çıkarmaktır. Eğer $y_2 - y_1$ kullanıyorsanız, $x_2 - x_1$ de kullanmalısınız.

Bir diğer hata, dik bir doğrunun eğiminin $0$ olduğunu söylemektir. Eğimi $0$ olan doğru yatay doğrudur. Dik doğrunun eğimi tanımsızdır çünkü payda $0$ olur.

Üçüncü bir hata da işareti göz ardı etmektir. Negatif eğim, $x$ arttıkça doğrunun aşağı indiği anlamına gelir.

Eğim formülü ne zaman kullanılır

Bir doğru üzerindeki iki noktayı biliyorsanız ve değişim oranını bulmak istiyorsanız eğim formülünü kullanın. Bu; cebirde, analitik geometride, grafik çiziminde ve $x$'teki eşit değişimlerin $y$'de sabit bir değişim oluşturduğu tüm doğrusal ilişkilerde karşınıza çıkar.

Grafik düz bir doğru değilse, iki nokta arasındaki eğim yalnızca bu noktalar arasındaki kesen doğrunun eğimidir. Tüm grafik için tek bir sabit eğim değildir.

Benzer bir soru deneyin

$(1, -2)$ ve $(4, 7)$ noktalarıyla kendi örneğinizi deneyin. Önce eğimi bulun, sonra bir noktayı kullanarak denklemi eğim-kesişim formunda yazın. Hemen ardından başka bir örnek isterseniz How To Find Slope veya Slope Intercept Form ile devam edin.