Formula della pendenza: variazione verticale su variazione orizzontale e forma

La formula della pendenza permette di trovare la pendenza di una retta a partire da due punti:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Usala quando conosci due punti della stessa retta e vuoi determinarne l'inclinazione, cioè il tasso di variazione. In parole semplici, la pendenza è la variazione verticale su quella orizzontale: la variazione di $y$ divisa per la variazione di $x$.

Questo funziona solo quando $x_2 \ne x_1$. Se i due punti hanno lo stesso valore di $x$, la retta è verticale, quindi il denominatore è $0$ e la pendenza è indefinita.

Se $m > 0$, la retta sale da sinistra a destra. Se $m < 0$, scende. Se $m = 0$, la retta è orizzontale.

Cosa significa la formula della pendenza

Il numeratore $y_2 - y_1$ è la variazione verticale, chiamata anche salita. Il denominatore $x_2 - x_1$ è la variazione orizzontale, chiamata anche spostamento orizzontale.

Per questo la formula della pendenza e la variazione verticale su quella orizzontale esprimono la stessa idea. La formula è semplicemente la versione in coordinate di quel rapporto.

Esempio svolto: trovare la pendenza da due punti

Trova la pendenza della retta che passa per $(2, 3)$ e $(5, 9)$. Indica il primo punto come $(x_1, y_1)$ e il secondo come $(x_2, y_2)$.

Parti dalla formula:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Sostituisci le coordinate nello stesso ordine:

$$m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$

Quindi la pendenza è $2$. Questo significa che ogni volta che $x$ aumenta di $1$, $y$ aumenta di $2$.

Puoi vedere lo stesso risultato anche come variazione verticale su variazione orizzontale. Da $(2, 3)$ a $(5, 9)$, la variazione verticale è $6$ e quella orizzontale è $3$, quindi

$$\frac{\text{variazione verticale}}{\text{variazione orizzontale}} = \frac{6}{3} = 2$$

Dalla formula della pendenza alla forma esplicita

Una volta nota la pendenza, puoi usare la forma esplicita

$$y = mx + b$$

per scrivere l'equazione della retta, purché la retta non sia verticale.

Usando l'esempio sopra, $m = 2$. Sostituisci un punto, per esempio $(2, 3)$:

$$3 = 2(2) + b$$ $$3 = 4 + b$$ $$b = -1$$

Quindi la retta è

$$y = 2x - 1$$

Il collegamento è pratico: la formula della pendenza ti dà $m$, e la forma esplicita usa quella pendenza per scrivere l'equazione completa.

Errori comuni con la formula della pendenza

Un errore comune è sottrarre i valori di $y$ in un ordine e i valori di $x$ nell'ordine opposto. Se usi $y_2 - y_1$, devi usare anche $x_2 - x_1$.

Un altro errore è dire che una retta verticale ha pendenza $0$. Una retta orizzontale ha pendenza $0$. Una retta verticale ha pendenza indefinita perché il denominatore diventa $0$.

Un terzo errore è ignorare il segno. Una pendenza negativa significa che la retta scende mentre $x$ aumenta.

Quando usare la formula della pendenza

Usa la formula della pendenza quando conosci due punti di una retta e vuoi il suo tasso di variazione. Questo capita in algebra, nella geometria analitica, nella rappresentazione grafica e in qualsiasi relazione lineare in cui uguali variazioni di $x$ producono una variazione costante di $y$.

Se il grafico non è una linea retta, la pendenza tra due punti è solo la pendenza della retta secante tra quei punti. Non è un'unica pendenza costante per tutto il grafico.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con i punti $(1, -2)$ e $(4, 7)$. Trova prima la pendenza, poi usa un punto per scrivere l'equazione in forma esplicita. Se vuoi un altro caso subito dopo, continua con How To Find Slope o Slope Intercept Form.