ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — สูตร การพิสูจน์ และตัวอย่าง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้าน ถ้าด้านประกอบมุมฉากคือ $a$ และ $b$ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $c$ จะได้ว่า

$$a^2 + b^2 = c^2$$

ใช้สูตรนี้ได้เฉพาะเมื่อสามเหลี่ยมนั้นมีมุมฉากเท่านั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $90^\circ$ และเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

สูตรนี้หมายความว่าอย่างไร

ทฤษฎีบทนี้จำได้ง่ายขึ้น ถ้าคิดในแง่ของพื้นที่ ไม่ใช่แค่ความยาวด้าน สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนแต่ละด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วจะพบว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบนด้าน $c$ เท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมบนด้าน $a$ และ $b$

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมความยาวด้านจึงต้องยกกำลังสอง ทฤษฎีบทนี้กำลังเปรียบเทียบพื้นที่ของสี่เหลี่ยม จึงได้ความสัมพันธ์เป็น $a^2 + b^2 = c^2$ ไม่ใช่ $a + b = c$

ทำไมทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเป็นจริง

การพิสูจน์แบบคลาสสิกวิธีหนึ่งเริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีความยาวด้านเท่ากับ $a + b$ วางสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกัน 4 รูปไว้ด้านใน โดยให้ด้านตรงข้ามมุมฉากของแต่ละรูปประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กตรงกลาง

สี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่มีพื้นที่เท่ากับ

$$(a+b)^2$$

พื้นที่รวมของสามเหลี่ยมทั้ง 4 รูปคือ

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านในมีความยาวด้านเท่ากับ $c$ ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ

$$c^2$$

เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมทั้ง 4 รูปและสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านใน

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

กระจายพจน์และจัดรูป:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

ตัวอย่างทำโจทย์: หาด้านตรงข้ามมุมฉาก

สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว $6$ และ $8$ ถ้าต้องการหาด้านตรงข้ามมุมฉาก $c$ ให้แทนค่าลงในทฤษฎีบท:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ คำตอบนี้สมเหตุสมผล เพราะด้านตรงข้ามมุมฉากควรยาวกว่าด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้าน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยกับ $a^2 + b^2 = c^2$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการใช้ทฤษฎีบทนี้กับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก สูตรนี้ต้องมีมุม $90^\circ$

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือใส่ด้านผิดแทน $c$ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะอยู่ตรงข้ามมุมฉากเสมอ และเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

นักเรียนบางคนก็หยุดเร็วเกินไป ถ้าได้ $c^2 = 100$ ความยาวด้านคือ $c = 10$ ไม่ใช่ $100$

บางคนยังสับสนระหว่าง $a^2 + b^2 = c^2$ กับ $(a+b)^2 = c^2$ ซึ่งไม่ใช่นิพจน์เดียวกัน

ควรใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเมื่อไร

ใช้ทฤษฎีบทนี้เมื่อมีความยาวสองด้านมาบรรจบกันเป็นมุมฉาก และคุณต้องการหาระยะตรงที่อยู่ตรงข้ามมุมนั้น กรณีที่พบบ่อย ได้แก่ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ระยะเส้นตรงระหว่างจุดสองจุด และงานวางแบบพื้นฐานในงานก่อสร้างหรือการสำรวจ

ทฤษฎีบทนี้ยังใช้ตรวจสอบได้ด้วยว่าสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าความยาวด้านของสามเหลี่ยมเป็นไปตาม $a^2 + b^2 = c^2$ โดยที่ $c$ เป็นด้านที่ยาวที่สุด สามเหลี่ยมนั้นก็เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้ด้านประกอบมุมฉากยาว $5$ และ $12$ ถ้าคุณได้คำตอบเป็น $13$ แสดงว่าคุณตั้งโจทย์ได้ถูกต้อง

ถ้าต้องการต่อยอดแบบมีประโยชน์ ลองดูโจทย์ที่คล้ายกันในเรื่อง สูตรระยะทาง เพื่อดูว่าแนวคิดเดียวกันนี้ทำงานอย่างไรบนระนาบพิกัด