Teorema de Pitágoras — Fórmula, Prova e Exemplos

O teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Se os catetos são $a$ e $b$ e a hipotenusa é $c$, então

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Use essa fórmula apenas quando o triângulo tiver um ângulo reto. A hipotenusa é o lado oposto a esse ângulo reto, e ela é sempre o lado mais longo.

O que a fórmula significa

O teorema fica mais fácil de lembrar se você pensar em áreas, e não apenas em comprimentos de lados. Construa um quadrado sobre cada lado de um triângulo retângulo. A área do quadrado sobre o lado $c$ é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os lados $a$ e $b$.

É por isso que os comprimentos dos lados aparecem ao quadrado. O teorema compara áreas de quadrados, por isso a relação é $a^2 + b^2 = c^2$ e não $a + b = c$.

Por que o teorema de Pitágoras é verdadeiro

Uma prova clássica começa com um quadrado grande de lado $a + b$. Coloque quatro triângulos retângulos idênticos dentro dele, de modo que suas hipotenusas formem um quadrado menor no centro.

O quadrado grande tem área

$$(a+b)^2$$

Os quatro triângulos juntos têm área

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

O quadrado interno tem lado $c$, então sua área é

$$c^2$$

Como o quadrado grande é formado por esses quatro triângulos mais o quadrado interno,

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Expanda e simplifique:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Exemplo resolvido: encontre a hipotenusa

Suponha que um triângulo retângulo tenha catetos $6$ e $8$. Para encontrar a hipotenusa $c$, substitua esses valores no teorema:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Então a hipotenusa é $10$. Essa resposta faz sentido porque a hipotenusa deve ser maior do que qualquer um dos catetos.

Erros comuns com $a^2 + b^2 = c^2$

O erro mais comum é usar o teorema em um triângulo que não é retângulo. A fórmula exige um ângulo de $90^\circ$.

Outro erro é colocar o lado errado no lugar de $c$. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto, e é sempre o lado mais longo.

Os alunos também às vezes param cedo demais. Se você obtiver $c^2 = 100$, então o comprimento do lado é $c = 10$, e não $100$.

Alguns alunos também confundem $a^2 + b^2 = c^2$ com $(a+b)^2 = c^2$. Essas expressões não são iguais.

Quando usar o teorema de Pitágoras

Use o teorema quando dois comprimentos formarem um ângulo reto e você precisar da distância direta do outro lado desse ângulo. Casos comuns incluem a diagonal de um retângulo, a distância em linha reta entre dois pontos e situações básicas de construção ou topografia.

Ele também é útil para verificar se um triângulo é retângulo. Se os comprimentos dos lados de um triângulo satisfazem $a^2 + b^2 = c^2$, com $c$ como o lado mais longo, então o triângulo é retângulo.

Tente um problema parecido

Tente sua própria versão com catetos $5$ e $12$. Se você chegar a $13$, montou o problema corretamente.

Se quiser um próximo passo útil, explore um problema parecido com a Fórmula da Distância para ver como a mesma ideia funciona no plano cartesiano.