Teorema di Pitagora — Formula, dimostrazione ed esempi

Il teorema di Pitagora afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Se i cateti sono $a$ e $b$ e l’ipotenusa è $c$, allora

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Usa questa formula solo quando il triangolo ha un angolo retto. L’ipotenusa è il lato opposto a quell’angolo retto ed è sempre il lato più lungo.

Cosa significa la formula

Il teorema è più facile da ricordare se pensi alle aree, non solo alle lunghezze dei lati. Costruisci un quadrato su ciascun lato di un triangolo rettangolo. L’area del quadrato costruito sul lato $c$ è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui lati $a$ e $b$.

Per questo le lunghezze dei lati vengono elevate al quadrato. Il teorema confronta aree di quadrati, ed è per questo che la relazione è $a^2 + b^2 = c^2$ invece di $a + b = c$.

Perché il teorema di Pitagora è vero

Una dimostrazione classica parte da un quadrato grande di lato $a + b$. Metti al suo interno quattro triangoli rettangoli identici in modo che le loro ipotenuse formino un quadrato più piccolo al centro.

Il quadrato grande ha area

$$(a+b)^2$$

I quattro triangoli insieme hanno area

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Il quadrato interno ha lato $c$, quindi la sua area è

$$c^2$$

Poiché il quadrato grande è formato da quei quattro triangoli più il quadrato interno,

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Sviluppa e semplifica:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Esempio svolto: trova l’ipotenusa

Supponi che un triangolo rettangolo abbia cateti $6$ e $8$. Per trovare l’ipotenusa $c$, sostituisci questi valori nel teorema:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Quindi l’ipotenusa è $10$. Questa risposta ha senso perché l’ipotenusa deve essere più lunga di ciascun cateto.

Errori comuni con $a^2 + b^2 = c^2$

L’errore più comune è usare il teorema su un triangolo che non è rettangolo. La formula richiede un angolo di $90^\circ$.

Un altro errore è mettere il lato sbagliato al posto di $c$. L’ipotenusa è sempre opposta all’angolo retto ed è sempre il lato più lungo.

A volte gli studenti si fermano troppo presto. Se ottieni $c^2 = 100$, la lunghezza del lato è $c = 10$, non $100$.

Alcuni studenti confondono anche $a^2 + b^2 = c^2$ con $(a+b)^2 = c^2$. Non sono la stessa espressione.

Quando usare il teorema di Pitagora

Usa il teorema quando due lunghezze formano un angolo retto e ti serve la distanza diretta opposta a quell’angolo. I casi più comuni includono la diagonale di un rettangolo, la distanza in linea retta tra due punti e semplici configurazioni di costruzione o rilievo.

È utile anche per verificare se un triangolo è rettangolo. Se le lunghezze dei lati di un triangolo soddisfano $a^2 + b^2 = c^2$ con $c$ come lato più lungo, allora il triangolo è rettangolo.

Prova un problema simile

Prova una tua versione con cateti $5$ e $12$. Se ottieni $13$, hai impostato correttamente il problema.

Se vuoi fare un passo successivo utile, esplora un problema simile con la Formula della distanza per vedere come la stessa idea funziona nel piano cartesiano.