ピタゴラスの定理 — 公式・証明・例題

ピタゴラスの定理とは、直角三角形において、斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しいという定理です。2つの直角をはさむ辺を $a$ と $b$、斜辺を $c$ とすると、

$$a^2 + b^2 = c^2$$

となります。

この公式は、三角形が直角をもつときにだけ使います。斜辺はその直角の向かい側にある辺で、常にいちばん長い辺です。

公式の意味

この定理は、辺の長さだけでなく面積で考えると覚えやすくなります。直角三角形のそれぞれの辺の上に正方形を作ってみましょう。辺 $c$ の上の正方形の面積は、辺 $a$ と $b$ の上の2つの正方形の面積を合わせたものと等しくなります。

だから辺の長さを2乗するのです。この定理は正方形の面積どうしを比べているので、関係は $a^2 + b^2 = c^2$ であり、$a + b = c$ ではありません。

ピタゴラスの定理が成り立つ理由

よく知られた証明の1つは、1辺の長さが $a + b$ の大きな正方形から始めます。その中に同じ直角三角形を4つ並べると、斜辺どうしで囲まれた小さな内側の正方形ができます。

大きな正方形の面積は

$$(a+b)^2$$

です。

4つの三角形の面積の合計は

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

です。

内側の正方形の1辺の長さは $c$ なので、その面積は

$$c^2$$

です。

大きな正方形は、この4つの三角形と内側の正方形からできているので、

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

となります。

これを展開して整理すると、

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

となります。

例題：斜辺を求める

直角三角形の2辺の長さが $6$ と $8$ だとします。斜辺 $c$ を求めるには、これらの値を定理に代入します。

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

したがって、斜辺は $10$ です。斜辺は他のどの辺よりも長いはずなので、この答えは自然です。

$a^2 + b^2 = c^2$ でよくあるミス

いちばん多いミスは、直角三角形ではない三角形にこの定理を使ってしまうことです。この公式には $90^\circ$ の角が必要です。

もう1つのミスは、$c$ に入れる辺を間違えることです。斜辺は必ず直角の向かい側にあり、常に最も長い辺です。

また、途中で計算を止めてしまうこともあります。$c^2 = 100$ になったなら、辺の長さは $c = 10$ であって、$100$ ではありません。

さらに、$a^2 + b^2 = c^2$ と $(a+b)^2 = c^2$ を混同する人もいます。これらは同じ式ではありません。

ピタゴラスの定理を使う場面

この定理は、2つの長さが直角に交わっていて、その角の向かい側の一直線の距離を求めたいときに使います。よくある例としては、長方形の対角線、2点間の直線距離、基本的な建築や測量の配置などがあります。

また、三角形が直角三角形かどうかを確かめるのにも役立ちます。三角形の辺の長さが、最も長い辺を $c$ として $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすなら、その三角形は直角三角形です。

似た問題に挑戦してみよう

今度は、2辺が $5$ と $12$ の場合で自分でやってみましょう。答えが $13$ になれば、正しく式を立てられています。

次のステップとしては、Distance Formula の似た問題を見ると、この考え方が座標平面でどのように使われるかがわかります。