ประเภทของรูปสามเหลี่ยม — ด้านเท่า หน้าจั่ว ด้านไม่เท่า และอื่น ๆ

รูปสามเหลี่ยมแบ่งประเภทหลัก ๆ ได้จากความยาวด้านหรือขนาดของมุม ถ้าแบ่งตามด้าน จะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หน้าจั่ว และด้านไม่เท่า ถ้าแบ่งตามมุม จะมีรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก และมุมป้าน

โดยทั่วไป รูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปจะได้ชื่อจากแต่ละกลุ่มอย่างละหนึ่งชื่อ ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมอาจเป็นทั้งรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและมุมป้าน หรือเป็นทั้งรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าและมุมฉากก็ได้ นี่คือแนวคิดสำคัญที่นักเรียนส่วนใหญ่มักต้องการเมื่อค้นหา "ประเภทของรูปสามเหลี่ยม"

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้าน

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านทั้งสามยาวเท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด นั่นหมายความว่ามุมทั้งสามก็เท่ากันด้วย ดังนั้นแต่ละมุมจึงมีขนาด $60^\circ$

เพราะมุมทั้งสามมีขนาดน้อยกว่า $90^\circ$ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมด้วย

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีด้านอย่างน้อยสองด้านยาวเท่ากัน มุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากันนั้นก็จะเท่ากันด้วย

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่จำเป็นต้องเป็นมุมแหลมเสมอไป ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม มันอาจเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้านก็ได้

รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ามีความยาวด้านทั้งสามไม่เท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด มุมทั้งสามก็จะมีขนาดต่างกันทั้งหมดเช่นกัน

เช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ายังอาจเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้านได้

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามขนาดของมุม

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม

รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมมีมุมทั้งสามน้อยกว่า $90^\circ$

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่งมุมที่มีขนาดเท่ากับ $90^\circ$ พอดี

รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

รูปสามเหลี่ยมมุมป้านมีมุมหนึ่งมุมที่มากกว่า $90^\circ$ เนื่องจากผลบวกของมุมในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ $180^\circ$ จึงมีมุมป้านได้เพียงมุมเดียว

วิธีจำแนกรูปสามเหลี่ยมจากความยาวด้าน

ถ้าคุณรู้เพียงความยาวของด้านทั้งสาม ให้ตรวจสอบก่อนว่าด้านเหล่านั้นสามารถประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้จริงหรือไม่ อสมการสามเหลี่ยมบอกว่า ผลบวกของความยาวด้านสองด้านใด ๆ ต้องมากกว่าด้านที่สาม

หลังจากนั้น ให้หาด้านที่ยาวที่สุดแล้วเรียกว่า $c$ จากนั้นเปรียบเทียบ $c^2$ กับ $a^2 + b^2$ ของอีกสองด้าน

$$\text{If } c^2 = a^2 + b^2, \text{ the triangle is right.}$$ $$\text{If } c^2 < a^2 + b^2, \text{ the triangle is acute.}$$ $$\text{If } c^2 > a^2 + b^2, \text{ the triangle is obtuse.}$$

การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อความยาวด้านผ่านเงื่อนไขอสมการสามเหลี่ยมแล้วเท่านั้น

ตัวอย่างทำโจทย์: จำแนก $5$, $5$ และ $8$

สมมติว่ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเป็น $5$, $5$ และ $8$

ก่อนอื่นตรวจสอบว่าถูกต้องหรือไม่:

$$5 + 5 > 8$$

ดังนั้นความยาวเหล่านี้สามารถประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ ต่อไปจำแนกตามด้าน ด้านสองด้านยาวเท่ากัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ตอนนี้จำแนกตามมุม ด้านที่ยาวที่สุดคือ $8$ ดังนั้นเปรียบเทียบได้ว่า:

$$8^2 = 64$$

และ

$$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

เนื่องจาก $64 > 50$ รูปสามเหลี่ยมนี้จึงเป็น รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

ดังนั้นการจำแนกแบบเต็มคือ รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมป้าน

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าทำไมระบบการจำแนกทั้งสองแบบจึงควรแยกจากกัน "หน้าจั่ว" ใช้อธิบายด้าน ส่วน "มุมป้าน" ใช้อธิบายมุม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการเรียกประเภทของรูปสามเหลี่ยม

1. มองว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หน้าจั่ว และด้านไม่เท่า เป็นป้ายกำกับชนิดเดียวกับมุมแหลม มุมฉาก และมุมป้าน
2. ลืมไปว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะนับเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้วยหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับข้อตกลงที่ใช้ ในหลายบริบทของการเรียนในโรงเรียน มักแยกรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าออกมาต่างหากในการจำแนก
3. เรียกรูปสามเหลี่ยมว่าเป็นด้านไม่เท่าก่อนตรวจสอบว่าความยาวทั้งสามสามารถประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้จริงหรือไม่
4. คิดว่ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วต้องเป็นมุมแหลมเสมอ ซึ่งไม่จริง
5. ใช้การเปรียบเทียบแบบทฤษฎีพีทาโกรัสกับความยาวด้านโดยยังไม่ได้ระบุด้านที่ยาวที่สุดก่อน

การจำแนกประเภทของรูปสามเหลี่ยมมีประโยชน์เมื่อใด

ประเภทของรูปสามเหลี่ยมพบได้บ่อยในเรขาคณิต ตรีโกณมิติ และโจทย์ที่มีแผนภาพหลายแบบ การจำแนกมักช่วยบอกได้ว่าควรใช้สมบัติหรือวิธีลัดใดจึงจะเหมาะที่สุด

ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมมุมฉากทำให้คุณใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสได้โดยตรง รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้สมมาตรของมุมที่เท่ากัน ส่วนรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ามักต้องใช้เครื่องมือทั่วไปมากกว่า เพราะไม่มีทางลัดจากด้านที่เท่ากัน

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองจำแนกความยาวด้าน $6$, $8$ และ $10$ ก่อนตัดสินประเภทตามด้าน แล้วใช้การเปรียบเทียบกำลังสองเพื่อตัดสินประเภทตามมุม หลังจากนั้น เปลี่ยนด้านที่ยาวที่สุดเป็น $11$ แล้วดูว่าส่วนใดของการจำแนกเปลี่ยนไป