กฎโคไซน์ — สูตร การพิสูจน์ และตัวอย่าง

ใช้กฎโคไซน์เมื่อสามเหลี่ยมไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และคุณรู้ทั้งด้านสองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่างด้านนั้น หรือรู้ด้านทั้งสามด้าน สำหรับด้าน $a$, $b$, $c$ ที่อยู่ตรงข้ามมุม $A$, $B$, $C$ ตามลำดับ รูปแบบมาตรฐานคือ

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

ในที่นี้ ด้าน $c$ อยู่ตรงข้ามมุม $C$ และ $C$ คือมุมระหว่างด้าน $a$ กับ $b$ รูปแบบเดียวกันนี้ใช้ได้กับด้านอื่นด้วย:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

ถ้า $C = 90^\circ$ จะได้ว่า $\cos C = 0$ ดังนั้นสูตรจะกลายเป็น $c^2 = a^2 + b^2$ นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมกฎโคไซน์จึงเป็นการขยายแนวคิดของทฤษฎีพีทาโกรัส

ควรใช้กฎโคไซน์เมื่อไร

กรณีที่พบบ่อยที่สุดคือ SAS: รู้ด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง มุมที่อยู่ระหว่างด้าน หมายถึงมุมที่เกิดจากด้านที่รู้ทั้งสองด้านนั้น

กฎนี้ยังใช้ได้กับกรณี SSS: รู้ด้านทั้งสามด้าน และต้องการหามุม ในกรณีนั้น ให้จัดรูปสมการก่อนแล้วค่อยใช้โคไซน์ผกผัน

ถ้าคุณรู้ด้านหนึ่งและมุมตรงข้ามของด้านนั้นอยู่แล้ว กฎไซน์มักเป็นเครื่องมือแรกที่เหมาะกว่า

สูตรนี้หมายความว่าอย่างไร

ถ้าด้านสองด้านคงที่ ความยาวของด้านที่สามจะขึ้นอยู่กับมุมระหว่างด้านทั้งสอง

เมื่อมุมที่อยู่ระหว่างด้านมีค่ามากขึ้น ด้านตรงข้ามก็จะยาวขึ้น เมื่อมุมเล็กลง ด้านตรงข้ามก็จะสั้นลง พจน์ $-2ab\cos C$ ทำหน้าที่ปรับผลบวกอย่างง่าย $a^2 + b^2$ ให้คำนึงถึงมุมนั้น

พจน์ปรับแก้นี้คือส่วนสำคัญที่ควรจำ หากไม่มีมัน คุณจะกำลังมองว่าสามเหลี่ยมทุกอันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตัวอย่างทำโจทย์: หาด้าน

สมมติว่าสามเหลี่ยมหนึ่งมีด้าน $a = 5$ และ $b = 7$ และมุมระหว่างด้านคือ $C = 60^\circ$ จงหาด้าน $c$

เพราะ $c$ อยู่ตรงข้ามมุมที่ทราบคือ $C$ จึงใช้

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

แทนค่าลงไป:

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ$$

เนื่องจาก $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$$c^2 = 25 + 49 - 70\left(\frac{1}{2}\right) = 74 - 35 = 39$$

ดังนั้น

$$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

คำตอบนี้สมเหตุสมผล เพราะด้านที่สามยาวกว่า $5$ แต่สั้นกว่า $7 + 5 = 12$ และมุมก็มีขนาดปานกลาง ไม่ได้ใหญ่จนมากเกินไป

วิธีหามุมจากด้านทั้งสาม

ถ้ารู้ด้านทั้งสามด้าน ให้แก้หาโคไซน์ก่อน:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

จากนั้นคำนวณ

$$C = \cos^{-1}\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

วิธีนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $a$, $b$, และ $c$ สร้างเป็นสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้จริง ถ้าค่าภายใน $\cos^{-1}$ อยู่นอกช่วง $[-1, 1]$ แสดงว่ามีความผิดพลาดจากพีชคณิตหรือข้อมูลตั้งแต่ขั้นก่อนหน้า

แนวคิดการพิสูจน์แบบสั้น

วิธีพิสูจน์ที่เรียบง่ายวิธีหนึ่งมาจากพิกัด

วางด้านหนึ่งไว้บนแกน $x$ ให้จุดยอดหนึ่งอยู่ที่ $(0, 0)$ และอีกจุดอยู่ที่ $(b, 0)$ แล้ววางจุดยอดที่สามไว้ที่ $(a\cos C, a\sin C)$ เพราะจุดนี้อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ $a$ และทำมุม $C$ กับแกน $x$

จากนั้นใช้สูตรหาระยะระหว่าง $(b, 0)$ กับ $(a\cos C, a\sin C)$:

$$c^2 = (b - a\cos C)^2 + (0 - a\sin C)^2$$

กระจายพจน์:

$$c^2 = b^2 - 2ab\cos C + a^2\cos^2 C + a^2\sin^2 C$$

แล้วใช้

$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$

เพื่อรวมสองพจน์สุดท้าย:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

นี่คือกฎโคไซน์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

จับคู่ด้านกับมุมผิด

มุมในสูตรต้องอยู่ตรงข้ามกับด้านที่อยู่ฝั่งซ้ายของสมการ ถ้าคุณใช้มุม $C$ ฝั่งซ้ายต้องเป็น $c^2$

ใช้สูตรเหมือนว่าสามเหลี่ยมทุกอันเป็นมุมฉาก

ถ้ามุมไม่ใช่ $90^\circ$ คุณจะตัดพจน์ $-2ab\cos C$ ทิ้งไม่ได้

ลืมโหมดของเครื่องคิดเลข

ถ้าโจทย์ให้หน่วยเป็นองศา เครื่องคิดเลขต้องอยู่ในโหมดองศา ถ้าโจทย์ให้เป็นเรเดียน ก็ต้องใช้โหมดเรเดียน

หามุมโดยไม่จัดรูปโคไซน์ให้รอบคอบก่อน

เมื่อรู้ด้านทั้งสามด้าน ให้จัดรูปก่อน แล้วค่อยใช้โคไซน์ผกผัน ความผิดพลาดทางพีชคณิตเพียงเล็กน้อยในขั้นนี้อาจทำให้มุมสุดท้ายคลาดเคลื่อนไปมาก

กฎโคไซน์ใช้ที่ไหนบ้าง

กฎโคไซน์พบได้บ่อยในเรขาคณิต ตรีโกณมิติ การสำรวจ การนำทาง และโจทย์ทุกแบบที่ต้องหาระยะในสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน การใช้งานหลักมีสองแบบคือ:

• หาด้านที่หายไปจากด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้าน
• หามุมที่หายไปจากด้านทั้งสามด้าน

ถ้าคุณมีสามเหลี่ยมมุมฉากอยู่แล้ว ทฤษฎีพีทาโกรัสมักเป็นรูปแบบที่ง่ายกว่า แต่ถ้าคุณรู้มุมพร้อมกับคู่ด้านแทน กฎไซน์อาจเหมาะกว่า

ลองทำด้วยตัวเอง

กำหนดให้ $a = 8$, $b = 11$, และ $C = 30^\circ$ แล้วหาค่า $c$ หลังจากนั้นเปลี่ยน $C$ เป็น $120^\circ$ แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์ การสังเกตว่าด้านตรงข้ามยาวขึ้นเป็นหนึ่งในวิธีที่เร็วที่สุดที่จะทำให้สูตรนี้เข้าใจได้อย่างเป็นธรรมชาติ

ถ้าคุณต้องการคำแนะนำทีละขั้นด้วยตัวเลขของคุณเอง ลองสำรวจสามเหลี่ยมลักษณะคล้ายกันใน GPAI Solver