ชุดจำนวนพีทาโกรัส — ชุดที่พบบ่อยและวิธีหา

ชุดจำนวนพีทาโกรัสคือเซตของจำนวนเต็มบวกสามจำนวน $(a,b,c)$ ที่สอดคล้องกับ $a^2 + b^2 = c^2$ พูดง่าย ๆ คือ ทั้งสามจำนวนเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เป็นจำนวนเต็ม และ $c$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัวอย่างคลาสสิกคือ $(3,4,5)$ เพราะ $3^2 + 4^2 = 5^2$

$$a^2 + b^2 = c^2$$

แนวคิดนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อค่าทั้งสามเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น สามเหลี่ยมมุมฉากจำนวนมากสอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่มีเพียงบางรูปเท่านั้นที่มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม

ชุดจำนวนพีทาโกรัสที่พบบ่อยและควรรู้

ชุดเหล่านี้พบได้บ่อยพอจนควรจำให้ได้ทันทีเมื่อเห็น:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

พหุคูณของชุดเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น การคูณ $(3,4,5)$ ด้วย $2$ จะได้ $(6,8,10)$ และ

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมชุดจำนวนที่ไม่เป็นมูลฐานจำนวนมากจึงเป็นเพียงชุดที่ขยายสเกลมาจากชุดที่เล็กกว่า

อะไรทำให้ชุดจำนวนหนึ่งเป็นชุดมูลฐาน

ชุดจำนวนพีทาโกรัสมูลฐานคือชุดที่ไม่มีตัวประกอบร่วมมากกว่า $1$ ตัวอย่างเช่น $(3,4,5)$ เป็นชุดมูลฐาน แต่ $(6,8,10)$ ไม่เป็น เพราะทั้งสามจำนวนหารด้วย $2$ ลงตัว

เรื่องนี้สำคัญเพราะทุกชุดที่ไม่เป็นมูลฐานเกิดจากการคูณสเกลของชุดมูลฐาน หากคุณเข้าใจชุดมูลฐาน คุณก็จะเข้าใจตระกูลที่ใหญ่กว่านี้ด้วย

วิธีหาชุดจำนวนพีทาโกรัส

มีสองวิธีที่ใช้ได้จริงในการหาชุดใหม่

คูณสเกลจากชุดที่คุณรู้อยู่แล้ว

ถ้า $(a,b,c)$ เป็นชุดจำนวนพีทาโกรัส และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว $(ka,kb,kc)$ ก็เป็นชุดจำนวนพีทาโกรัสเช่นกัน เพราะ

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

นี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการสร้างตัวอย่าง เช่น $(9,12,15)$ หรือ $(10,24,26)$

ใช้สูตรของยุคลิด

ถ้า $m$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มี $m > n > 0$ แล้ว

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

จะได้ชุดจำนวนพีทาโกรัสหนึ่งชุด

ถ้าคุณต้องการชุดมูลฐาน ซึ่งหมายถึงทั้งสามจำนวนไม่มีตัวประกอบร่วมมากกว่า $1$ คุณยังต้องให้ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน และต้องไม่เป็นจำนวนคี่ทั้งคู่

ตัวอย่างทำโจทย์: สร้างชุดจำนวนหนึ่งชุด

ให้ $m = 4$ และ $n = 1$ เนื่องจาก $m > n > 0$ จึงใช้สูตรของยุคลิดได้

ดังนั้น

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

จึงได้ว่า $(8,15,17)$ เป็นชุดจำนวนพีทาโกรัส

คุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรง:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

จากนั้นคูณสเกลด้วย $2$ จะได้ $(16,30,34)$ รูปร่างของสามเหลี่ยมมุมฉากยังคงเดิม แต่ความยาวด้านเพิ่มเป็นสองเท่า

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นสองแนวคิดหลักพร้อมกัน: สูตรของยุคลิดใช้สร้างชุดจำนวน และการคูณสเกลใช้สร้างชุดเพิ่มได้อีก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับชุดจำนวนพีทาโกรัส

ลืมเงื่อนไขว่าเป็นจำนวนเต็ม

สมการ $a^2+b^2=c^2$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงได้มากมาย แต่ชุดจำนวนพีทาโกรัสกำหนดให้ค่าทั้งสามต้องเป็นจำนวนเต็มบวก

เรียกทุกชุดที่ถูกต้องว่าเป็นชุดมูลฐาน

$(6,8,10)$ เป็นชุดที่ถูกต้อง แต่ไม่ใช่ชุดมูลฐาน เพราะทั้งสามจำนวนมีตัวประกอบร่วมคือ $2$

สับสนระหว่าง "ชุดจำนวนพีทาโกรัส" กับ "ชุดจำนวนพีทาโกรัสมูลฐาน"

ชุดจำนวนพีทาโกรัสต้องเพียงสอดคล้องกับ $a^2+b^2=c^2$ โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก ส่วนเงื่อนไขเพิ่มเติมของ $m$ และ $n$ มีความสำคัญเฉพาะเมื่อคุณต้องการให้ชุดนั้นเป็นชุดมูลฐาน

วางจำนวนที่มากที่สุดผิดตำแหน่ง

ในชุด $(a,b,c)$ ค่า $c$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นจึงต้องเป็นจำนวนที่มากที่สุด

ชุดจำนวนพีทาโกรัสมีประโยชน์เมื่อใด

ชุดเหล่านี้ปรากฏในเรขาคณิตของสามเหลี่ยมมุมฉาก เรขาคณิตวิเคราะห์ และทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น นอกจากนี้ยังมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการตรวจสอบอย่างรวดเร็วว่าจำนวนเต็มสามจำนวนสามารถประกอบเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้หรือไม่

ในคณิตศาสตร์เชิงพิสูจน์ นี่เป็นตัวอย่างมาตรฐานของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งเป็นสมการที่เรามองหาคำตอบเป็นจำนวนเต็มแทนที่จะเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้ $m = 5$ และ $n = 2$ ในสูตรของยุคลิด จากนั้นตรวจสอบผลลัพธ์ใน $a^2 + b^2 = c^2$ ถ้าต้องการต่ออีกขั้น ลองดู ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพื่อดูว่าความสัมพันธ์เดียวกันนี้ถูกใช้ในการหาความยาวด้านที่หายไปอย่างไร