Πυθαγόρειο θεώρημα — Τύπος, απόδειξη και παραδείγματα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα λέει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών. Αν οι κάθετες πλευρές είναι $a$ και $b$ και η υποτείνουσα είναι $c$, τότε

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Χρησιμοποίησε αυτόν τον τύπο μόνο όταν το τρίγωνο έχει ορθή γωνία. Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία και είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά.

Τι σημαίνει ο τύπος

Το θεώρημα είναι πιο εύκολο να το θυμάσαι αν σκέφτεσαι εμβαδά και όχι μόνο μήκη πλευρών. Κατασκεύασε ένα τετράγωνο πάνω σε κάθε πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το εμβαδό του τετραγώνου στην πλευρά $c$ είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων στις πλευρές $a$ και $b$.

Γι’ αυτό τα μήκη των πλευρών υψώνονται στο τετράγωνο. Το θεώρημα συγκρίνει εμβαδά τετραγώνων, γι’ αυτό η σχέση είναι $a^2 + b^2 = c^2$ και όχι $a + b = c$.

Γιατί ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα

Μια κλασική απόδειξη ξεκινά με ένα μεγάλο τετράγωνο πλευράς $a + b$. Τοποθέτησε μέσα σε αυτό τέσσερα ίδια ορθογώνια τρίγωνα έτσι ώστε οι υποτείνουσές τους να σχηματίζουν ένα μικρότερο εσωτερικό τετράγωνο.

Το μεγάλο τετράγωνο έχει εμβαδό

$$(a+b)^2$$

Τα τέσσερα τρίγωνα μαζί έχουν εμβαδό

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Το εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά μήκους $c$, άρα το εμβαδό του είναι

$$c^2$$

Αφού το μεγάλο τετράγωνο αποτελείται από αυτά τα τέσσερα τρίγωνα και το εσωτερικό τετράγωνο,

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Ανάπτυξε και απλοποίησε:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Λυμένο παράδειγμα: βρες την υποτείνουσα

Έστω ότι ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές $6$ και $8$. Για να βρεις την υποτείνουσα $c$, αντικατάστησε αυτές τις τιμές στο θεώρημα:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Άρα η υποτείνουσα είναι $10$. Αυτή η απάντηση βγάζει νόημα, γιατί η υποτείνουσα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις κάθετες πλευρές.

Συχνά λάθη με το $a^2 + b^2 = c^2$

Το πιο συχνό λάθος είναι η χρήση του θεωρήματος σε τρίγωνο που δεν είναι ορθογώνιο. Ο τύπος απαιτεί γωνία $90^\circ$.

Ένα άλλο λάθος είναι να μπαίνει η λάθος πλευρά στη θέση του $c$. Η υποτείνουσα είναι πάντα απέναντι από την ορθή γωνία και είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά.

Οι μαθητές επίσης μερικές φορές σταματούν πολύ νωρίς. Αν βρεις $c^2 = 100$, τότε το μήκος της πλευράς είναι $c = 10$, όχι $100$.

Μερικοί μαθητές μπερδεύουν επίσης το $a^2 + b^2 = c^2$ με το $(a+b)^2 = c^2$. Δεν είναι η ίδια παράσταση.

Πότε να χρησιμοποιείς το Πυθαγόρειο θεώρημα

Χρησιμοποίησε το θεώρημα όταν δύο μήκη σχηματίζουν ορθή γωνία και χρειάζεσαι την ευθεία απόσταση απέναντι από αυτή τη γωνία. Συνηθισμένες περιπτώσεις είναι η διαγώνιος ενός ορθογωνίου, η ευθύγραμμη απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία και βασικές διατάξεις σε κατασκευές ή τοπογραφία.

Είναι επίσης χρήσιμο για να ελέγχεις αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Αν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ικανοποιούν τη σχέση $a^2 + b^2 = c^2$ με το $c$ ως τη μεγαλύτερη πλευρά, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με κάθετες πλευρές $5$ και $12$. Αν βρεις $13$, έχεις στήσει σωστά το πρόβλημα.

Αν θέλεις ένα χρήσιμο επόμενο βήμα, δες ένα παρόμοιο πρόβλημα με τον Τύπο της Απόστασης για να καταλάβεις πώς λειτουργεί η ίδια ιδέα στο καρτεσιανό επίπεδο.