Định lý Pythagore — Công thức, Chứng minh & Ví dụ

Định lý Pythagore nói rằng trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại. Nếu hai cạnh góc vuông là $a$ và $b$, còn cạnh huyền là $c$, thì

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Chỉ dùng công thức này khi tam giác có một góc vuông. Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông đó, và luôn là cạnh dài nhất.

Công thức này có nghĩa là gì

Định lý sẽ dễ nhớ hơn nếu bạn nghĩ theo diện tích, không chỉ theo độ dài cạnh. Hãy dựng một hình vuông trên mỗi cạnh của tam giác vuông. Diện tích hình vuông trên cạnh $c$ bằng tổng diện tích hai hình vuông trên các cạnh $a$ và $b$.

Đó là lý do các độ dài cạnh được bình phương. Định lý đang so sánh diện tích các hình vuông, nên ta có quan hệ $a^2 + b^2 = c^2$ chứ không phải $a + b = c$.

Vì sao định lý Pythagore đúng

Một cách chứng minh kinh điển bắt đầu với một hình vuông lớn có cạnh dài $a + b$. Đặt bốn tam giác vuông giống hệt nhau vào bên trong sao cho các cạnh huyền của chúng tạo thành một hình vuông nhỏ ở giữa.

Hình vuông lớn có diện tích

$$(a+b)^2$$

Tổng diện tích của bốn tam giác là

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Hình vuông bên trong có cạnh dài $c$, nên diện tích của nó là

$$c^2$$

Vì hình vuông lớn được ghép từ bốn tam giác đó và hình vuông bên trong, ta có

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Khai triển và rút gọn:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Ví dụ có lời giải: tìm cạnh huyền

Giả sử một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $6$ và $8$. Để tìm cạnh huyền $c$, thay các giá trị đó vào định lý:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Vậy cạnh huyền là $10$. Kết quả này hợp lý vì cạnh huyền phải dài hơn mỗi cạnh góc vuông.

Những lỗi thường gặp với $a^2 + b^2 = c^2$

Lỗi phổ biến nhất là áp dụng định lý cho một tam giác không vuông. Công thức này cần có một góc $90^\circ$.

Một lỗi khác là đặt nhầm cạnh vào vị trí của $c$. Cạnh huyền luôn đối diện góc vuông và luôn là cạnh dài nhất.

Học sinh cũng đôi khi dừng lại quá sớm. Nếu bạn được $c^2 = 100$, thì độ dài cạnh là $c = 10$, không phải $100$.

Một số bạn cũng nhầm $a^2 + b^2 = c^2$ với $(a+b)^2 = c^2$. Đây không phải là cùng một biểu thức.

Khi nào nên dùng định lý Pythagore

Dùng định lý này khi hai độ dài gặp nhau tại một góc vuông và bạn cần tìm khoảng cách trực tiếp đối diện góc đó. Những trường hợp thường gặp gồm đường chéo của hình chữ nhật, khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm, và các bài toán cơ bản trong xây dựng hoặc đo đạc.

Nó cũng hữu ích để kiểm tra xem một tam giác có vuông hay không. Nếu độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$ với $c$ là cạnh dài nhất, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Thử một bài tương tự

Hãy tự thử với hai cạnh góc vuông là $5$ và $12$. Nếu bạn ra $13$, thì bạn đã thiết lập bài toán đúng.

Nếu muốn học tiếp một bước hữu ích, hãy xem bài Công thức khoảng cách để thấy cùng một ý tưởng hoạt động như thế nào trên mặt phẳng tọa độ.