Théorème de Pythagore — Formule, démonstration et exemples

Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si les côtés de l’angle droit sont $a$ et $b$ et l’hypoténuse est $c$, alors

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Utilisez cette formule seulement lorsque le triangle a un angle droit. L’hypoténuse est le côté opposé à cet angle droit, et c’est toujours le plus long côté.

Ce que signifie la formule

Le théorème est plus facile à retenir si vous pensez en termes d’aires, et pas seulement de longueurs. Construisez un carré sur chaque côté d’un triangle rectangle. L’aire du carré construit sur le côté $c$ est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés $a$ et $b$.

C’est pour cela que les longueurs sont mises au carré. Le théorème compare des aires de carrés, ce qui explique pourquoi la relation est $a^2 + b^2 = c^2$ et non $a + b = c$.

Pourquoi le théorème de Pythagore est vrai

Une démonstration classique commence avec un grand carré de côté $a + b$. On place quatre triangles rectangles identiques à l’intérieur de sorte que leurs hypoténuses forment un petit carré au centre.

Le grand carré a pour aire

$$(a+b)^2$$

Les quatre triangles ont ensemble pour aire

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Le carré intérieur a pour côté $c$, donc son aire est

$$c^2$$

Comme le grand carré est formé de ces quatre triangles plus le carré intérieur,

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Développons et simplifions :

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Exemple résolu : trouver l’hypoténuse

Supposons qu’un triangle rectangle ait pour côtés de l’angle droit $6$ et $8$. Pour trouver l’hypoténuse $c$, remplacez ces valeurs dans le théorème :

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Donc l’hypoténuse vaut $10$. Cette réponse est logique, car l’hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés.

Erreurs fréquentes avec $a^2 + b^2 = c^2$

L’erreur la plus fréquente consiste à utiliser le théorème sur un triangle qui n’est pas rectangle. La formule exige un angle de $90^\circ$.

Une autre erreur consiste à mettre le mauvais côté à la place de $c$. L’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit, et c’est toujours le plus long côté.

Les élèves s’arrêtent aussi parfois trop tôt. Si vous obtenez $c^2 = 100$, alors la longueur du côté est $c = 10$, et non $100$.

Certains confondent aussi $a^2 + b^2 = c^2$ avec $(a+b)^2 = c^2$. Ce ne sont pas la même expression.

Quand utiliser le théorème de Pythagore

Utilisez le théorème lorsque deux longueurs forment un angle droit et que vous cherchez la distance directe en face de cet angle. Parmi les cas courants, on trouve la diagonale d’un rectangle, la distance en ligne droite entre deux points, ainsi que des configurations simples en construction ou en topographie.

Il est aussi utile pour vérifier si un triangle est rectangle. Si les longueurs des côtés d’un triangle vérifient $a^2 + b^2 = c^2$ avec $c$ comme plus long côté, alors le triangle est rectangle.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec des côtés de l’angle droit $5$ et $12$. Si vous obtenez $13$, vous avez correctement posé le problème.

Si vous voulez aller plus loin, explorez un problème proche avec la formule de distance pour voir comment la même idée fonctionne dans le plan cartésien.