Twierdzenie Pitagorasa — wzór, dowód i przykłady

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków. Jeśli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna ma długość $c$, to

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Używaj tego wzoru tylko wtedy, gdy trójkąt ma kąt prosty. Przeciwprostokątna to bok leżący naprzeciw tego kąta i zawsze jest najdłuższym bokiem.

Co oznacza ten wzór

To twierdzenie łatwiej zapamiętać, jeśli myślisz o polach, a nie tylko o długościach boków. Zbuduj kwadrat na każdym boku trójkąta prostokątnego. Pole kwadratu zbudowanego na boku $c$ jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na bokach $a$ i $b$.

Właśnie dlatego długości boków są podnoszone do kwadratu. Twierdzenie porównuje pola kwadratów, dlatego zależność ma postać $a^2 + b^2 = c^2$, a nie $a + b = c$.

Dlaczego twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe

Jeden z klasycznych dowodów zaczyna się od dużego kwadratu o boku długości $a + b$. Umieść w nim cztery jednakowe trójkąty prostokątne tak, aby ich przeciwprostokątne tworzyły mniejszy wewnętrzny kwadrat.

Duży kwadrat ma pole

$$(a+b)^2$$

Cztery trójkąty mają łącznie pole

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Wewnętrzny kwadrat ma bok długości $c$, więc jego pole wynosi

$$c^2$$

Ponieważ duży kwadrat składa się z tych czterech trójkątów i wewnętrznego kwadratu, mamy

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Rozwiń i uprość:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Przykład: oblicz przeciwprostokątną

Załóżmy, że trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości $6$ i $8$. Aby obliczyć przeciwprostokątną $c$, podstaw te wartości do wzoru:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Zatem przeciwprostokątna ma długość $10$. Ten wynik ma sens, ponieważ przeciwprostokątna powinna być dłuższa od każdej przyprostokątnej.

Typowe błędy przy $a^2 + b^2 = c^2$

Najczęstszy błąd to stosowanie twierdzenia do trójkąta, który nie jest prostokątny. Ten wzór wymaga kąta $90^\circ$.

Inny błąd to podstawienie niewłaściwego boku w miejsce $c$. Przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższym bokiem.

Uczniowie czasem kończą też zbyt wcześnie. Jeśli otrzymasz $c^2 = 100$, to długość boku wynosi $c = 10$, a nie $100$.

Niektórzy mylą też $a^2 + b^2 = c^2$ z $(a+b)^2 = c^2$. To nie są te same wyrażenia.

Kiedy używać twierdzenia Pitagorasa

Użyj tego twierdzenia, gdy dwa odcinki spotykają się pod kątem prostym i chcesz znaleźć odległość położoną naprzeciw tego kąta. Typowe zastosowania to przekątna prostokąta, odległość w linii prostej między dwoma punktami oraz podstawowe zadania w budownictwie i geodezji.

Jest ono także przydatne do sprawdzania, czy trójkąt jest prostokątny. Jeśli długości boków trójkąta spełniają zależność $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $c$ jest najdłuższym bokiem, to trójkąt jest prostokątny.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj samodzielnie rozwiązać wersję z przyprostokątnymi $5$ i $12$. Jeśli otrzymasz $13$, to znaczy, że poprawnie ułożyłeś zadanie.

Jeśli chcesz zrobić kolejny przydatny krok, przejdź do podobnego zagadnienia we wzorze na odległość, aby zobaczyć, jak ta sama idea działa na płaszczyźnie współrzędnych.