피타고라스 정리 — 공식, 증명과 예제

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다고 말합니다. 두 직각변을 $a$와 $b$, 빗변을 $c$라고 하면

$$a^2 + b^2 = c^2$$

이 됩니다.

이 공식은 삼각형에 직각이 있을 때만 사용합니다. 빗변은 그 직각의 맞은편에 있는 변이며, 항상 가장 긴 변입니다.

공식의 의미

이 정리는 변의 길이만이 아니라 넓이로 생각하면 더 쉽게 기억할 수 있습니다. 직각삼각형의 각 변 위에 정사각형을 하나씩 만든다고 생각해 보세요. 변 $c$ 위의 정사각형 넓이는 변 $a$와 $b$ 위의 정사각형 넓이를 합한 것과 같습니다.

그래서 변의 길이를 제곱합니다. 이 정리는 정사각형의 넓이를 비교하는 것이므로 관계식은 $a + b = c$가 아니라 $a^2 + b^2 = c^2$입니다.

피타고라스 정리가 왜 성립할까

대표적인 증명 하나는 한 변의 길이가 $a + b$인 큰 정사각형에서 시작합니다. 그 안에 서로 같은 직각삼각형 4개를 넣으면, 빗변들이 가운데에 더 작은 정사각형을 만듭니다.

큰 정사각형의 넓이는

$$(a+b)^2$$

입니다.

삼각형 4개의 넓이를 모두 합하면

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

입니다.

가운데 정사각형의 한 변의 길이는 $c$이므로, 그 넓이는

$$c^2$$

입니다.

큰 정사각형은 이 네 개의 삼각형과 가운데 정사각형으로 이루어져 있으므로

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

가 됩니다.

이를 전개하고 정리하면

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

를 얻습니다.

풀이 예제: 빗변 구하기

직각삼각형의 두 직각변이 $6$과 $8$이라고 해 봅시다. 빗변 $c$를 구하려면 이 값을 정리에 대입하면 됩니다.

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

따라서 빗변은 $10$입니다. 빗변은 두 직각변보다 길어야 하므로 이 답은 타당합니다.

$a^2 + b^2 = c^2$에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 직각삼각형이 아닌 삼각형에 이 정리를 적용하는 것입니다. 이 공식은 $90^\circ$ 각이 있어야만 쓸 수 있습니다.

또 다른 실수는 $c$ 자리에 잘못된 변을 넣는 것입니다. 빗변은 항상 직각의 맞은편에 있고, 항상 가장 긴 변입니다.

또 어떤 학생들은 너무 일찍 계산을 멈춥니다. $c^2 = 100$이 나왔다면 변의 길이는 $100$이 아니라 $c = 10$입니다.

또한 $a^2 + b^2 = c^2$와 $(a+b)^2 = c^2$를 헷갈리는 경우도 있습니다. 이 둘은 같은 식이 아닙니다.

피타고라스 정리를 언제 사용할까

두 길이가 직각으로 만나고, 그 각의 맞은편에 있는 직접 거리를 구해야 할 때 이 정리를 사용합니다. 대표적인 예로는 직사각형의 대각선, 두 점 사이의 직선거리, 기본적인 건설이나 측량 배치가 있습니다.

삼각형이 직각삼각형인지 확인할 때도 유용합니다. 삼각형의 세 변의 길이가 가장 긴 변을 $c$로 했을 때 $a^2 + b^2 = c^2$를 만족하면, 그 삼각형은 직각삼각형입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

직각변이 $5$와 $12$인 경우도 직접 해 보세요. 답이 $13$이 나오면 식을 올바르게 세운 것입니다.

다음 단계로 유용한 내용을 보고 싶다면 Distance Formula의 비슷한 문제를 살펴보세요. 같은 아이디어가 좌표평면에서 어떻게 쓰이는지 볼 수 있습니다.