Teorema de Pitágoras — Fórmula, demostración y ejemplos

El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Si los catetos son $a$ y $b$ y la hipotenusa es $c$, entonces

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Usa esta fórmula solo cuando el triángulo tenga un ángulo recto. La hipotenusa es el lado opuesto a ese ángulo recto y siempre es el lado más largo.

Qué significa la fórmula

El teorema es más fácil de recordar si piensas en áreas, no solo en longitudes de lados. Construye un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo. El área del cuadrado sobre el lado $c$ coincide con la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados $a$ y $b$.

Por eso las longitudes de los lados se elevan al cuadrado. El teorema compara áreas de cuadrados, por eso la relación es $a^2 + b^2 = c^2$ y no $a + b = c$.

Por qué es verdadero el teorema de Pitágoras

Una demostración clásica comienza con un cuadrado grande de lado $a + b$. Coloca dentro de él cuatro triángulos rectángulos idénticos de modo que sus hipotenusas formen un cuadrado interior más pequeño.

El cuadrado grande tiene área

$$(a+b)^2$$

Los cuatro triángulos juntos tienen área

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

El cuadrado interior tiene lado $c$, así que su área es

$$c^2$$

Como el cuadrado grande está formado por esos cuatro triángulos más el cuadrado interior,

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Desarrolla y simplifica:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Ejemplo resuelto: hallar la hipotenusa

Supón que un triángulo rectángulo tiene catetos de $6$ y $8$. Para hallar la hipotenusa $c$, sustituye esos valores en el teorema:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Así que la hipotenusa es $10$. Esa respuesta tiene sentido porque la hipotenusa debe ser más larga que cualquiera de los catetos.

Errores comunes con $a^2 + b^2 = c^2$

El error más común es usar el teorema en un triángulo que no es rectángulo. La fórmula requiere un ángulo de $90^\circ$.

Otro error es poner el lado equivocado en el lugar de $c$. La hipotenusa siempre está opuesta al ángulo recto y siempre es el lado más largo.

A veces los estudiantes también se detienen demasiado pronto. Si obtienes $c^2 = 100$, la longitud del lado es $c = 10$, no $100$.

Algunos estudiantes también confunden $a^2 + b^2 = c^2$ con $(a+b)^2 = c^2$. No son la misma expresión.

Cuándo usar el teorema de Pitágoras

Usa el teorema cuando dos longitudes formen un ángulo recto y necesites la distancia directa al lado opuesto de ese ángulo. Algunos casos comunes incluyen la diagonal de un rectángulo, la distancia en línea recta entre dos puntos y disposiciones básicas en construcción o topografía.

También es útil para comprobar si un triángulo es rectángulo. Si las longitudes de los lados de un triángulo cumplen $a^2 + b^2 = c^2$ con $c$ como el lado más largo, entonces el triángulo es rectángulo.

Prueba un problema similar

Prueba tu propia versión con catetos de $5$ y $12$. Si obtienes $13$, planteaste el problema correctamente.

Si quieres dar un siguiente paso útil, explora un problema parecido con la Distance Formula para ver cómo funciona la misma idea en el plano cartesiano.