Pisagor Teoremi — Formül, İspat ve Örnekler

Pisagor teoremi, dik üçgende hipotenüsün karesinin diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit olduğunu söyler. Dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs ise $c$ ise,

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Bu formülü yalnızca üçgenin bir dik açısı varsa kullanın. Hipotenüs, bu dik açının karşısındaki kenardır ve her zaman en uzun kenardır.

Formülün anlamı

Teoremi, yalnızca kenar uzunluklarıyla değil alanlarla düşünürseniz daha kolay hatırlarsınız. Dik üçgenin her bir kenarı üzerine bir kare çizin. $c$ kenarı üzerindeki karenin alanı, $a$ ve $b$ kenarları üzerindeki karelerin alanları toplamına eşittir.

Kenar uzunluklarının karesinin alınmasının nedeni budur. Teorem karelerin alanlarını karşılaştırır; bu yüzden ilişki $a^2 + b^2 = c^2$ olur, $a + b = c$ değil.

Pisagor teoremi neden doğrudur?

Klasik bir ispat, kenar uzunluğu $a + b$ olan büyük bir kareyle başlar. İçine dört özdeş dik üçgen yerleştirin; öyle ki hipotenüsleri ortada daha küçük bir iç kare oluştursun.

Büyük karenin alanı

$$(a+b)^2$$

Dört üçgenin toplam alanı

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

İç karenin bir kenarı $c$ olduğundan alanı

$$c^2$$

Büyük kare, bu dört üçgen ile iç kareden oluştuğu için,

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Açalım ve sadeleştirelim:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Çözümlü örnek: hipotenüsü bulun

Bir dik üçgenin dik kenarlarının $6$ ve $8$ olduğunu düşünelim. Hipotenüs $c$'yi bulmak için bu değerleri teoreme yerleştirin:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Dolayısıyla hipotenüs $10$ olur. Bu sonuç mantıklıdır çünkü hipotenüs, dik kenarların her birinden daha uzun olmalıdır.

$a^2 + b^2 = c^2$ ile ilgili yaygın hatalar

En yaygın hata, teoremi dik olmayan bir üçgende kullanmaktır. Formül için $90^\circ$'lik bir açı gerekir.

Bir başka hata da $c$ yerine yanlış kenarı yazmaktır. Hipotenüs her zaman dik açının karşısındadır ve her zaman en uzun kenardır.

Öğrenciler bazen de çok erken durur. Eğer $c^2 = 100$ bulursanız, kenar uzunluğu $100$ değil, $c = 10$ olur.

Bazı öğrenciler ayrıca $a^2 + b^2 = c^2$ ile $(a+b)^2 = c^2$ ifadelerini karıştırır. Bunlar aynı ifade değildir.

Pisagor teoremi ne zaman kullanılır?

İki uzunluk dik açıyla birleşiyorsa ve bu açının karşısındaki doğrudan uzaklığı bulmanız gerekiyorsa teoremi kullanın. Yaygın örnekler arasında dikdörtgenin köşegeni, iki nokta arasındaki doğrusal uzaklık ve temel inşaat ya da ölçme düzenleri bulunur.

Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol etmek için de kullanışlıdır. Bir üçgenin kenar uzunlukları, $c$ en uzun kenar olmak üzere $a^2 + b^2 = c^2$ koşulunu sağlıyorsa, o üçgen bir dik üçgendir.

Benzer bir soru deneyin

Dik kenarları $5$ ve $12$ olan kendi örneğinizi deneyin. Sonuç $13$ çıkarsa, soruyu doğru kurmuşsunuz demektir.

Yararlı bir sonraki adım isterseniz, aynı fikrin koordinat düzleminde nasıl çalıştığını görmek için Uzaklık Formülü konusuna göz atın.