Teorema Pythagoras — Rumus, Bukti & Contoh

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya. Jika sisi-sisi siku-sikunya adalah $a$ dan $b$ dan sisi miringnya adalah $c$, maka

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Gunakan rumus ini hanya jika segitiganya memiliki sudut siku-siku. Sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut, dan selalu merupakan sisi terpanjang.

Apa arti rumus ini

Teorema ini lebih mudah diingat jika Anda memikirkannya dalam bentuk luas, bukan hanya panjang sisi. Buat sebuah persegi pada setiap sisi segitiga siku-siku. Luas persegi pada sisi $c$ sama dengan gabungan luas persegi pada sisi $a$ dan $b$.

Itulah sebabnya panjang sisi dikuadratkan. Teorema ini membandingkan luas persegi, sehingga hubungannya adalah $a^2 + b^2 = c^2$, bukan $a + b = c$.

Mengapa teorema Pythagoras benar

Salah satu bukti klasik dimulai dengan sebuah persegi besar yang panjang sisinya $a + b$. Letakkan empat segitiga siku-siku yang identik di dalamnya sehingga sisi miringnya membentuk sebuah persegi kecil di bagian tengah.

Luas persegi besar adalah

$$(a+b)^2$$

Luas gabungan keempat segitiga adalah

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Persegi di bagian dalam memiliki panjang sisi $c$, sehingga luasnya adalah

$$c^2$$

Karena persegi besar tersusun dari empat segitiga tersebut ditambah persegi di bagian dalam, maka

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Kembangkan dan sederhanakan:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Contoh soal: mencari sisi miring

Misalkan sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi-sisi siku-siku $6$ dan $8$. Untuk mencari sisi miring $c$, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam teorema:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Jadi, sisi miringnya adalah $10$. Jawaban itu masuk akal karena sisi miring seharusnya lebih panjang daripada salah satu sisi siku-siku.

Kesalahan umum pada $a^2 + b^2 = c^2$

Kesalahan yang paling umum adalah menggunakan teorema ini pada segitiga yang bukan segitiga siku-siku. Rumus ini memerlukan sudut $90^\circ$.

Kesalahan lain adalah menempatkan sisi yang salah sebagai $c$. Sisi miring selalu berhadapan dengan sudut siku-siku, dan selalu merupakan sisi terpanjang.

Siswa juga kadang berhenti terlalu cepat. Jika Anda mendapatkan $c^2 = 100$, maka panjang sisinya adalah $c = 10$, bukan $100$.

Sebagian siswa juga tertukar antara $a^2 + b^2 = c^2$ dan $(a+b)^2 = c^2$. Keduanya bukan ekspresi yang sama.

Kapan menggunakan teorema Pythagoras

Gunakan teorema ini ketika dua panjang bertemu membentuk sudut siku-siku dan Anda perlu mencari jarak langsung di hadapan sudut tersebut. Contoh yang umum meliputi diagonal persegi panjang, jarak garis lurus antara dua titik, serta susunan dasar dalam konstruksi atau pengukuran lahan.

Teorema ini juga berguna untuk memeriksa apakah suatu segitiga adalah segitiga siku-siku. Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga memenuhi $a^2 + b^2 = c^2$ dengan $c$ sebagai sisi terpanjang, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Coba soal serupa

Cobalah versi Anda sendiri dengan sisi-sisi siku-siku $5$ dan $12$. Jika Anda mendapatkan $13$, berarti Anda menyusun soalnya dengan benar.

Jika Anda ingin melanjutkan ke langkah berikutnya yang berguna, pelajari soal serupa dengan Distance Formula untuk melihat bagaimana ide yang sama bekerja pada bidang koordinat.