Satz des Pythagoras — Formel, Beweis & Beispiele

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist. Wenn die Katheten $a$ und $b$ heißen und die Hypotenuse $c$, dann gilt

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Verwende diese Formel nur, wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat. Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber diesem rechten Winkel, und sie ist immer die längste Seite.

Was die Formel bedeutet

Der Satz lässt sich leichter merken, wenn du an Flächen statt nur an Seitenlängen denkst. Konstruiere auf jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat. Die Fläche des Quadrats über der Seite $c$ entspricht der Summe der Flächen der Quadrate über den Seiten $a$ und $b$.

Deshalb werden die Seitenlängen quadriert. Der Satz vergleicht Quadratflächen, daher gilt $a^2 + b^2 = c^2$ und nicht $a + b = c$.

Warum der Satz des Pythagoras stimmt

Ein klassischer Beweis beginnt mit einem großen Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$. Lege vier identische rechtwinklige Dreiecke hinein, sodass ihre Hypotenusen ein kleineres inneres Quadrat bilden.

Das große Quadrat hat die Fläche

$$(a+b)^2$$

Die vier Dreiecke zusammen haben die Fläche

$$4 \left( \frac{1}{2}ab \right) = 2ab$$

Das innere Quadrat hat die Seitenlänge $c$, also ist seine Fläche

$$c^2$$

Da das große Quadrat aus diesen vier Dreiecken und dem inneren Quadrat besteht, gilt

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Ausmultiplizieren und vereinfachen:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Durchgerechnetes Beispiel: die Hypotenuse finden

Angenommen, ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $6$ und $8$. Um die Hypotenuse $c$ zu finden, setze diese Werte in den Satz ein:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$ $$c = 10$$

Die Hypotenuse ist also $10$. Das ergibt Sinn, weil die Hypotenuse länger sein muss als jede der beiden Katheten.

Häufige Fehler bei $a^2 + b^2 = c^2$

Der häufigste Fehler ist, den Satz auf ein Dreieck anzuwenden, das nicht rechtwinklig ist. Die Formel setzt einen Winkel von $90^\circ$ voraus.

Ein weiterer Fehler ist, die falsche Seite als $c$ einzusetzen. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite.

Manche Schülerinnen und Schüler hören auch zu früh auf. Wenn du $c^2 = 100$ erhältst, dann ist die Seitenlänge $c = 10$ und nicht $100$.

Einige verwechseln außerdem $a^2 + b^2 = c^2$ mit $(a+b)^2 = c^2$. Das sind nicht dieselben Ausdrücke.

Wann man den Satz des Pythagoras verwendet

Verwende den Satz, wenn zwei Strecken einen rechten Winkel bilden und du die direkte Entfernung gegenüber diesem Winkel brauchst. Typische Fälle sind die Diagonale eines Rechtecks, die Luftlinie zwischen zwei Punkten und einfache Anordnungen im Bauwesen oder in der Vermessung.

Er ist auch nützlich, um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Wenn die Seitenlängen eines Dreiecks die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ erfüllen und $c$ die längste Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit den Katheten $5$ und $12$. Wenn du $13$ erhältst, hast du die Aufgabe richtig angesetzt.

Wenn du einen sinnvollen nächsten Schritt machen willst, schau dir eine ähnliche Aufgabe mit der Abstandsformel an, um zu sehen, wie dieselbe Idee in der Koordinatenebene funktioniert.