มุมแย้งภายใน

มุมแย้งภายในคือมุมที่อยู่ระหว่างเส้นสองเส้น และอยู่คนละด้านของเส้นตัด หากเส้นทั้งสองขนานกัน มุมแย้งภายในแต่ละคู่จะมีขนาดเท่ากัน

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก ถ้าเส้นทั้งสองไม่ขนานกัน จะสรุปไม่ได้ว่ามุมคู่นั้นเท่ากัน

วิธีระบุมุมแย้งภายใน

เส้นตัดคือเส้นตรงที่ตัดผ่านเส้นตรงอีกสองเส้น มุมภายในคือมุมที่อยู่ในบริเวณระหว่างเส้นสองเส้นนั้น

ในบรรดามุมภายใน มุมแย้งภายในหนึ่งคู่จะอยู่คนละด้านของเส้นตัด ในรูปมาตรฐาน คู่หนึ่งคือมุมด้านในซ้ายที่จุดตัดด้านบน กับมุมด้านในขวาที่จุดตัดด้านล่าง

ถ้ายังไม่แน่ใจ ให้ตรวจสอบ 2 ข้อตามลำดับ:

1. มุมทั้งสองต้องอยู่ภายในระหว่างเส้นสองเส้น
2. มุมทั้งสองต้องอยู่คนละด้านของเส้นตัด

เมื่อใดมุมแย้งภายในจึงเท่ากัน

ถ้าเส้นขนานสองเส้นถูกตัดด้วยเส้นตัด มุมแย้งภายในจะเท่ากัน

ถ้าเส้น $l$ และ $m$ ขนานกัน และมุม $a$ กับ $b$ เป็นมุมแย้งภายในคู่หนึ่ง จะได้ว่า

$$a = b$$

นี่คือกฎที่นักเรียนมักใช้ในโจทย์เรขาคณิต โดยใช้ได้ก็ต่อเมื่อโจทย์กำหนดว่าเส้นขนานกัน หรือได้พิสูจน์แล้วว่าเส้นขนานกัน

ตัวอย่างโจทย์

สมมติว่าเส้นขนานสองเส้นถูกตัดด้วยเส้นตัด มุมแย้งภายในมุมหนึ่งมีขนาด $x + 12$ องศา และมุมคู่ของมันมีขนาด $68^\circ$ จงหา $x$

เพราะเส้นทั้งสองขนานกัน มุมทั้งคู่จึงเท่ากัน ตั้งสมการให้เท่ากันแล้วแก้:

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

ดังนั้น ขนาดของมุมที่ไม่ทราบคือ $68^\circ$ และค่าของตัวแปรคือ $56$ รูปแบบที่ใช้บ่อยคือ ระบุความสัมพันธ์ให้ได้ก่อน แล้วจึงเขียนสมการ

มุมแย้งภายใน กับ มุมสมนัย

นักเรียนมักสับสนระหว่างมุมแย้งภายในกับมุมสมนัย เพราะทั้งสองแบบเกิดขึ้นเมื่อเส้นตัดตัดเส้นขนาน และในกรณีนั้นทั้งสองแบบก็มีขนาดเท่ากัน

ความต่างอยู่ที่ตำแหน่ง มุมแย้งภายในอยู่ระหว่างเส้นสองเส้นและอยู่คนละด้านของเส้นตัด ส่วนมุมสมนัยจะอยู่ในตำแหน่งมุมที่สอดคล้องกันที่จุดตัดทั้งสองจุด

ถ้าถามก่อนว่า "อยู่ด้านในหรือด้านนอก?" แล้วค่อยถามว่า "อยู่ด้านเดียวกันหรือคนละด้าน?" ก็มักจะระบุชื่อมุมได้ชัดเจน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือข้ามเงื่อนไขเรื่องเส้นขนานไป รูปอาจดูเหมือนขนานกัน แต่ไม่ควรใช้สมบัติมุมเท่ากัน เว้นแต่โจทย์จะระบุว่าเส้นขนานกัน หรือคุณได้พิสูจน์แล้วว่าเส้นขนานกัน

อีกข้อผิดพลาดหนึ่งคือเลือกมุมที่อยู่นอกเส้นสองเส้น ถ้ามุมใดมุมหนึ่งอยู่นอกคู่เส้นนั้น ก็ไม่ใช่มุมแย้งภายใน

ยังมีบทกลับด้วย: ถ้าเส้นตัดตัดเส้นสองเส้น และมีมุมแย้งภายในคู่หนึ่งเท่ากัน แล้วเส้นสองเส้นนั้นจะขนานกัน

ใช้เรื่องนี้ตรงไหนในเรขาคณิต

มุมแย้งภายในพบได้ในโจทย์พิสูจน์แบบไล่มุม รูปสามเหลี่ยมที่มีเส้นขนานช่วย และโจทย์ที่ต้องอธิบายว่าเหตุใดเส้นสองเส้นจึงขนานกัน

แนวคิดนี้เรียบง่าย แต่ช่วยให้คุณมองรูปที่ซับซ้อนให้เหลือเป็นชุดของมุมที่เท่ากันและติดตามได้ง่ายขึ้น

ลองทำโจทย์คล้ายกัน

วาดเส้นขนานสองเส้นและเส้นตัดหนึ่งเส้น กำหนดให้มุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด $115^\circ$ จงหามุมแย้งภายในคู่ของมัน แล้วหามุมภายในด้านเดียวที่อยู่ติดกัน

ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้สร้างโจทย์ของตัวเองโดยใช้ตัวแปร เช่น $x + 20$ แล้วตั้งให้เท่ากับ $115$ ก่อนแก้สมการ