มุมภายนอก — ทฤษฎีบทและผลบวกของมุมภายนอก

มุมภายนอกคือมุมที่อยู่นอกรูป ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อคุณต่อด้านหนึ่งของรูปออกไป ข้อเท็จจริงสำคัญมีไม่กี่อย่าง: ในรูปสามเหลี่ยม มุมภายนอกมีขนาดเท่ากับผลบวกของมุมภายในไกลสองมุม และในรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ มุมภายนอกหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอดจะรวมกันได้ $360^\circ$ ถ้าวัดในทิศทางเดียวกัน

ถ้าจะจำแค่ทางลัดเดียว ให้จำข้อนี้ไว้: มุมภายในกับมุมภายนอกที่อยู่ติดกันรวมกันได้ $180^\circ$

มุมภายนอกหมายถึงอะไร

พิจารณารูปหลายเหลี่ยมแล้วต่อด้านหนึ่งให้เลยจุดยอดออกไป มุมที่อยู่ระหว่างส่วนต่อออกไปนั้นกับด้านถัดไปคือมุมภายนอก

มุมภายนอกนี้อยู่ติดกับมุมภายในที่จุดยอดเดียวกัน ดังนั้นทั้งสองมุมจึงรวมกันเป็นมุมเส้นตรง:

$$\text{interior angle} + \text{adjacent exterior angle} = 180^\circ$$

ความสัมพันธ์นี้มักเป็นวิธีที่เร็วที่สุดในการสลับหาค่าระหว่างมุมภายในและมุมภายนอก

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยมทำงานอย่างไร

สำหรับรูปสามเหลี่ยม มุมภายนอกมีขนาดเท่ากับผลบวกของมุมภายในสองมุมที่ไม่ได้อยู่ติดกับมัน มุมเหล่านี้เรียกว่า มุมภายในไกล

ถ้ามุมภายในไกลเป็น $a$ และ $b$ และมุมภายนอกเป็น $e$ จะได้ว่า

$$e = a + b$$

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะกับมุมภายในไกลสองมุมเท่านั้น มุมภายในที่อยู่ติดกับมุมภายนอกไม่อยู่ในทฤษฎีบทนี้

ทำไมมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมจึงรวมกันได้ $360^\circ$

ถ้าคุณเลือกมุมภายนอกหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และวัดทั้งหมดในทิศทางการหมุนเดียวกัน ผลรวมจะเป็น

$$360^\circ$$

ข้อนี้เป็นจริงสำหรับรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่านั้น วิธีนึกภาพที่ช่วยได้คือการเดินรอบรูป: มุมภายนอกแสดงการหมุนรวมของคุณ และเมื่อเดินครบหนึ่งรอบ คุณจะกลับมาหันในทิศเริ่มต้นอีกครั้ง ซึ่งเท่ากับการหมุนครบหนึ่งรอบหรือ $360^\circ$

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า มุมภายนอกทุกมุมมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นแต่ละมุมจึงเป็น

$$\frac{360^\circ}{n}$$

โดยที่ $n$ คือจำนวนด้าน

ตัวอย่างโจทย์: ใช้ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยม มุมภายในไกลสองมุมมีขนาด $48^\circ$ และ $67^\circ$ จงหามุมภายนอกที่จุดยอดที่สาม

ใช้ทฤษฎีบทได้โดยตรง:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

ดังนั้นมุมภายนอกมีขนาด $115^\circ$

ถ้าคุณต้องการหามุมภายในที่อยู่ติดกันด้วย ให้ใช้ความสัมพันธ์ของมุมเส้นตรง:

$$\text{adjacent interior angle} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นสองวิธีที่ใช้บ่อยที่สุด:

1. บวกมุมภายในไกลสองมุมเพื่อหามุมภายนอก
2. ลบออกจาก $180^\circ$ ถ้าโจทย์ถามหามุมภายในที่อยู่ติดกันด้วย

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ขั้นตอนจะต่างออกไป: เริ่มจากใช้ $360^\circ / n$ เพื่อหามุมภายนอกหนึ่งมุมก่อน แล้วจึงลบออกจาก $180^\circ$ ถ้าต้องการมุมภายใน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับมุมภายนอก

ใช้มุมผิดในทฤษฎีบทของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยม มุมภายนอกมีขนาดเท่ากับผลบวกของมุมภายในไกลสองมุม ไม่ใช่มุมภายในที่อยู่ติดกับมัน

นับมุมภายนอกมากกว่าหนึ่งมุมที่จุดยอดเดียวกัน

กฎ $360^\circ$ ใช้มุมภายนอกหนึ่งมุมต่อหนึ่งจุดยอด ถ้าคุณนับมุมเพิ่ม หรือปะปนมุมภายนอกคนละมุมที่มุมเดียวกัน ผลรวมจะไม่ตรงตามทฤษฎีบท

มองข้ามเงื่อนไขเรื่องทิศทาง

สำหรับรูปหลายเหลี่ยม ให้ใช้มุมภายนอกหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอด และวัดอย่างสม่ำเสมอขณะเคลื่อนไปรอบรูป นั่นคือสิ่งที่ทำให้ผลรวมแทนการหมุนครบหนึ่งรอบได้

คิดว่ารูปหลายเหลี่ยมทุกแบบมีมุมภายนอกเท่ากัน

มีเพียงรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้นที่มีมุมภายนอกเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมไม่ด้านเท่ายังคงมีผลบวกของมุมภายนอกเท่ากับ $360^\circ$ แต่ขนาดของแต่ละมุมอาจไม่เท่ากัน

มุมภายนอกใช้เมื่อไร

มุมภายนอกพบได้ในโจทย์พิสูจน์สามเหลี่ยม คำถามเรื่องมุมของรูปหลายเหลี่ยม และปัญหาเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า มันมีประโยชน์มากโดยเฉพาะเมื่อคุณต้องการหามุมที่ไม่ทราบค่าอย่างรวดเร็ว โดยไม่ต้องแก้มุมทุกมุมในรูปก่อน

แนวคิดนี้ยังเชื่อมเรขาคณิตเข้ากับการหมุนด้วย นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมผลบวกของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมจึงคงที่และจำได้ง่าย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำโจทย์รูปสิบเหลี่ยมด้านเท่าต่อไป เริ่มจากหามุมภายนอกหนึ่งมุมโดยใช้ $360^\circ / 10$ แล้วจึงหามุมภายในที่อยู่ติดกัน

ถ้าคุณอยากตรวจสอบวิธีคิดทีละขั้น หลังจากทำเสร็จแล้วให้ลองเปรียบเทียบคำตอบกับตัวช่วยแก้โจทย์ และดูว่าคุณใช้ผลบวกของมุมภายนอกหรือความสัมพันธ์ของมุมเส้นตรงได้ถูกจังหวะหรือไม่