มุมในสามเหลี่ยม — ผลบวกเท่ากับ 180° และประเภทของสามเหลี่ยม

มุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180^\circ$ ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ถ้าคุณรู้มุมภายในสองมุม ให้นำผลบวกของสองมุมนั้นไปลบออกจาก $180^\circ$ เพื่อหามุมที่สาม ข้อเท็จจริงเดียวกันนี้ยังช่วยให้คุณตัดสินได้ด้วยว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

ถ้ามุมภายในคือ $A$, $B$ และ $C$ จะได้ว่า

$$A + B + C = 180^\circ$$

ข้อความนี้ใช้กับเรขาคณิตบนระนาบทั่วไปเท่านั้น ในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด เช่น สามเหลี่ยมที่วาดบนผิวทรงกลม ผลบวกของมุมไม่จำเป็นต้องเป็น $180^\circ$

ทำไมมุมในสามเหลี่ยมจึงรวมกันได้ 180 องศา

สามเหลี่ยมมีมุมภายใน 3 มุม โดยมีหนึ่งมุมที่แต่ละจุดยอด ในเรขาคณิตแบบยุคลิด มุมทั้งสามนี้รวมกันได้ค่าคงที่เสมอ คือมุมตรง หรือ $180^\circ$

โดยทั่วไปคุณไม่จำเป็นต้องใช้การพิสูจน์เต็มรูปแบบเพื่อใช้กฎนี้ ประเด็นสำคัญคือ เมื่อคุณรู้มุมภายในสองมุมแล้ว มุมที่สามจะถูกกำหนดแน่นอน

$$C = 180^\circ - (A + B)$$

วิธีหามุมที่หายไปในสามเหลี่ยม

ใช้กฎผลบวกมุมในสองขั้นตอนสั้น ๆ ดังนี้

ขั้นแรก บวกมุมภายในสองมุมที่ทราบค่า

จากนั้น นำผลรวมนั้นไปลบออกจาก $180^\circ$

ตัวอย่างโจทย์: หามุมที่สาม

สมมติว่าสามเหลี่ยมหนึ่งมีมุม $47^\circ$ และ $68^\circ$ จงหามุมที่สาม และบอกว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นชนิดใดตามประเภทของมุม

ขั้นแรก บวกมุมที่ทราบค่า:

$$47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$$

ตอนนี้นำไปลบออกจาก $180^\circ$:

$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

ดังนั้นมุมที่สามคือ $65^\circ$ มุมทั้งสามคือ $47^\circ$, $68^\circ$ และ $65^\circ$ ดังนั้นนี่คือสามเหลี่ยมมุมแหลม เพราะมุมทั้งสามน้อยกว่า $90^\circ$

ประเภทของสามเหลี่ยมตามมุม

สามเหลี่ยมมุมแหลม

มุมภายในทั้งสามน้อยกว่า $90^\circ$

สามเหลี่ยมมุมฉาก

มีมุมภายในหนึ่งมุมเท่ากับ $90^\circ$

สามเหลี่ยมมุมป้าน

มีมุมภายในหนึ่งมุมมากกว่า $90^\circ$

เนื่องจากผลรวมเท่ากับ $180^\circ$ สามเหลี่ยมหนึ่งรูปจึงมีมุมฉากได้มากที่สุดหนึ่งมุม และมีมุมป้านได้มากที่สุดหนึ่งมุม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยม

ใช้กฎนี้นอกเรขาคณิตแบบยุคลิด

กฎ $180^\circ$ ใช้กับเรขาคณิตบนระนาบทั่วไป นี่คือบริบทของโจทย์ในโรงเรียนส่วนใหญ่ แต่เงื่อนไขนี้สำคัญถ้าโจทย์ไม่ได้อยู่บนระนาบแบน

สับสนระหว่างมุมภายในกับมุมภายนอก

กฎผลบวกมุมของสามเหลี่ยมใช้มุมภายในทั้งสาม ไม่ใช่มุมด้านนอกที่เกิดจากการต่อด้านออกไป

จำแนกจากรูปวาดแทนที่จะดูจากตัวเลข

ภาพร่างอาจทำให้เข้าใจผิดได้ สามเหลี่ยมที่ดูเหมือนมุมป้านอาจไม่ใช่มุมป้านจริง ๆ ดังนั้นควรจำแนกจากขนาดของมุม ไม่ใช่จากรูปวาด

ลืมหน่วยองศา

ถ้าโจทย์ใช้หน่วยเป็นองศา ควรใส่สัญลักษณ์องศาไว้เพื่อให้ชัดเจนว่าคุณกำลังใช้หน่วยวัดมุมแบบใด

วิธีตรวจเร็วเพื่อจับข้อผิดพลาด

ในสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทั้งสามเท่ากัน ดังนั้นแต่ละมุมจึงเป็น $60^\circ$

ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวเท่ากันจะเท่ากันด้วย นี่ทำให้คุณมีความสัมพันธ์เพิ่มอีกหนึ่งอย่างก่อนจะใช้ผลรวม $180^\circ$

ข้อเท็จจริงเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับใช้ตรวจอย่างรวดเร็วเมื่อคำตอบดูน่าสงสัย

กฎผลบวกมุมของสามเหลี่ยมมีประโยชน์เมื่อใด

กฎผลบวกมุมพบได้ในเรขาคณิตพื้นฐาน การพิสูจน์เกี่ยวกับสามเหลี่ยม โจทย์การสร้าง และการตั้งโจทย์ตรีโกณมิติ หลายครั้งมันเป็นขั้นตอนแรกก่อนใช้ข้อเท็จจริงที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นเกี่ยวกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ หรือสามเหลี่ยมคล้าย

มันยังช่วยให้คุณตรวจความสมเหตุสมผลของคำตอบได้ด้วย ถ้ามุมภายในทั้งสามไม่รวมกันได้ $180^\circ$ ในโจทย์เรขาคณิตบนระนาบทั่วไป แสดงว่ามีบางอย่างผิดพลาดตั้งแต่ขั้นตอนก่อนหน้า

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองพิจารณาสามเหลี่ยมที่มีมุม $35^\circ$ และ $90^\circ$ จงหามุมที่สาม แล้วตัดสินว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

ถ้าคุณต้องการตรวจคำตอบหลังจากทำเสร็จ ให้เปรียบเทียบขั้นตอนของคุณในตัวแก้โจทย์ และตรวจว่ามุมภายในทั้งสามยังรวมกันได้ $180^\circ$ อยู่