Ângulos Externos — Teorema e Soma dos Ângulos Externos

Ângulos externos são os ângulos que ficam fora de uma figura quando você prolonga um lado. Os fatos principais são simples: em um triângulo, um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes e, em qualquer polígono, um ângulo externo em cada vértice soma $360^\circ$ se todos forem medidos no mesmo sentido.

Se você lembrar de apenas um atalho, lembre-se deste: um ângulo interno e seu ângulo externo adjacente sempre somam $180^\circ$.

O Que É Um Ângulo Externo

Pegue um polígono e prolongue um lado além de um vértice. O ângulo entre esse prolongamento e o lado seguinte é um ângulo externo.

Esse ângulo externo fica ao lado do ângulo interno no mesmo vértice, então os dois formam uma linha reta:

$$\text{interior angle} + \text{adjacent exterior angle} = 180^\circ$$

Essa relação costuma ser a forma mais rápida de passar de ângulo interno para externo, ou vice-versa.

Como Funciona O Teorema Do Ângulo Externo No Triângulo

Em um triângulo, um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos que não estão ao lado dele. Eles são chamados de ângulos internos não adjacentes.

Se os ângulos internos não adjacentes são $a$ e $b$, e o ângulo externo é $e$, então

$$e = a + b$$

Isso só funciona com os dois ângulos internos não adjacentes. O ângulo interno ao lado do ângulo externo não faz parte do teorema.

Por Que Os Ângulos Externos De Um Polígono Somam $360^\circ$

Se você pegar um ângulo externo em cada vértice de um polígono e medi-los no mesmo sentido de giro, o total será sempre

$$360^\circ$$

Isso vale para triângulos, quadriláteros, pentágonos e polígonos maiores. Uma forma útil de visualizar isso é imaginar que você está andando ao redor da figura: os ângulos externos acompanham o giro total do seu percurso, e uma volta completa faz você voltar à direção inicial, o que corresponde a um giro completo de $360^\circ$.

Em um polígono regular, todos os ângulos externos são iguais, então cada um mede

$$\frac{360^\circ}{n}$$

em que $n$ é o número de lados.

Exemplo Resolvido: Usando O Teorema Do Ângulo Externo No Triângulo

Em um triângulo, dois ângulos internos não adjacentes medem $48^\circ$ e $67^\circ$. Encontre o ângulo externo no terceiro vértice.

Use o teorema diretamente:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

Portanto, o ângulo externo é $115^\circ$.

Se você também quiser o ângulo interno ao lado dele, use a relação de linha reta:

$$\text{adjacent interior angle} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Este exemplo mostra os dois procedimentos mais comuns:

1. Somar os dois ângulos internos não adjacentes para obter o ângulo externo.
2. Subtrair de $180^\circ$ se o problema também pedir o ângulo interno adjacente.

Em um polígono regular, o processo é diferente: primeiro use $360^\circ / n$ para encontrar um ângulo externo e depois subtraia de $180^\circ$ se precisar do ângulo interno.

Erros Comuns Com Ângulos Externos

Usar Os Ângulos Errados No Teorema Do Triângulo

Em um triângulo, o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes, e não ao ângulo interno ao lado dele.

Somar Mais De Um Ângulo Externo No Mesmo Vértice

A regra dos $360^\circ$ usa um ângulo externo por vértice. Se você contar ângulos extras ou misturar ângulos externos diferentes no mesmo canto, o total não vai bater com o teorema.

Ignorar A Condição Do Sentido

Nos polígonos, use um ângulo externo em cada vértice e meça todos de forma consistente enquanto percorre a figura. É isso que faz o total representar uma volta completa.

Supor Que Todo Polígono Tem Ângulos Externos Iguais

Somente polígonos regulares têm ângulos externos iguais. Polígonos irregulares ainda têm soma dos ângulos externos igual a $360^\circ$, mas os ângulos individuais podem ser diferentes.

Quando Você Usa Ângulos Externos

Ângulos externos aparecem em demonstrações com triângulos, questões sobre ângulos em polígonos e problemas com polígonos regulares. Eles são especialmente úteis quando você precisa encontrar um ângulo desconhecido rapidamente, sem resolver primeiro todos os ângulos da figura.

Eles também conectam a geometria à ideia de giro. Por isso a soma nos polígonos é estável e fácil de lembrar.

Tente Um Problema Parecido

Tente agora com um decágono regular. Primeiro encontre um ângulo externo usando $360^\circ / 10$ e depois encontre o ângulo interno adjacente.

Se quiser conferir seu raciocínio passo a passo, compare sua resolução com a de um solver depois de terminar e veja se você usou a soma dos ângulos externos ou a relação de linha reta no momento certo.