Ângulos alternos internos

Ângulos alternos internos são ângulos que ficam entre duas retas e em lados opostos de uma transversal. Se as duas retas forem paralelas, cada par de ângulos alternos internos tem a mesma medida.

Essa condição é importante. Se as retas não forem paralelas, você não pode assumir que esses ângulos são iguais.

Como identificar ângulos alternos internos

Uma transversal é uma reta que cruza outras duas retas. Os ângulos internos são os que ficam na região entre essas duas retas.

Entre esses ângulos internos, um par de alternos internos fica em lados opostos da transversal. Em um diagrama padrão, um par é o ângulo interno à esquerda na interseção de cima com o ângulo interno à direita na interseção de baixo.

Se você não tiver certeza, verifique duas coisas nesta ordem:

1. Os dois ângulos devem estar entre as duas retas.
2. Os ângulos devem estar em lados opostos da transversal.

Quando os ângulos alternos internos são iguais

Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos alternos internos são congruentes.

Se as retas $l$ e $m$ são paralelas e os ângulos $a$ e $b$ formam um par de alternos internos, então

$$a = b$$

Essa é a regra de que os alunos geralmente precisam em problemas de geometria. Ela só vale quando a condição de paralelismo é dada ou já foi provada.

Exemplo resolvido

Suponha que duas retas paralelas sejam cortadas por uma transversal. Um ângulo alterno interno mede $x + 12$ graus, e seu par mede $68^\circ$. Encontre $x$.

Como as retas são paralelas, os ângulos são iguais. Iguale os dois e resolva:

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

Então a medida do ângulo desconhecido é $68^\circ$, e o valor da variável é $56$. O padrão mais comum é: primeiro identifique a relação, depois monte a equação.

Ângulos alternos internos vs. ângulos correspondentes

Os alunos costumam confundir ângulos alternos internos com ângulos correspondentes porque ambos aparecem quando uma transversal corta retas paralelas, e ambos são iguais nesse caso.

A diferença está na posição. Os ângulos alternos internos ficam entre as duas retas e em lados opostos da transversal. Os ângulos correspondentes ficam em posições de canto equivalentes nas duas interseções.

Se você primeiro perguntar "está dentro ou fora?" e depois perguntar "está do mesmo lado ou do lado oposto?", a classificação geralmente fica clara.

Erros comuns

O erro mais comum é ignorar a condição de retas paralelas. Um desenho pode parecer mostrar retas paralelas, mas você não deve usar a igualdade a menos que o problema diga que as retas são paralelas ou que isso já tenha sido provado.

Outro erro é escolher um ângulo que está fora das duas retas. Se um dos ângulos estiver fora do par de retas, então ele não é um ângulo alterno interno.

Também existe um teorema recíproco: se uma transversal corta duas retas e um par de ângulos alternos internos é congruente, então as duas retas são paralelas.

Onde você usa isso na geometria

Ângulos alternos internos aparecem em demonstrações com perseguição de ângulos, em diagramas de triângulos com retas auxiliares paralelas e em problemas nos quais você precisa justificar que duas retas são paralelas.

A ideia é simples, mas ajuda a transformar um diagrama cheio de informações em um conjunto menor de ângulos iguais que você consegue acompanhar.

Tente um problema parecido

Desenhe duas retas paralelas e uma transversal. Marque um ângulo interno como $115^\circ$. Encontre seu par alterno interno e depois encontre o ângulo interno do mesmo lado ao lado dele.

Se quiser ir um passo além, tente criar sua própria versão com uma variável, como $x + 20$, e iguale a $115$ antes de resolver.