Ângulos de um Triângulo — Soma de 180° e Tipos

Os ângulos de um triângulo somam $180^\circ$ na geometria euclidiana. Se você conhece dois ângulos internos, subtraia a soma deles de $180^\circ$ para obter o terceiro. Esse mesmo fato também ajuda a decidir se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Se os ângulos internos são $A$, $B$ e $C$, então

$$A + B + C = 180^\circ$$

Essa afirmação vale para a geometria plana comum. Em geometrias não euclidianas, como em triângulos desenhados sobre uma esfera, a soma dos ângulos não precisa ser $180^\circ$.

Por que os ângulos de um triângulo somam 180 graus

Um triângulo tem três ângulos internos, um em cada vértice. Na geometria euclidiana, esses três ângulos sempre somam o mesmo total: um ângulo raso, ou $180^\circ$.

Em geral, você não precisa de uma demonstração completa para usar essa regra. O mais importante é que, quando você conhece quaisquer dois ângulos internos, o terceiro fica determinado.

$$C = 180^\circ - (A + B)$$

Como encontrar um ângulo faltante em um triângulo

Use a regra da soma dos ângulos em dois passos rápidos:

Primeiro, some os dois ângulos internos conhecidos.

Depois, subtraia esse total de $180^\circ$.

Exemplo resolvido: encontre o terceiro ângulo

Suponha que um triângulo tenha ângulos de $47^\circ$ e $68^\circ$. Encontre o terceiro ângulo e diga o tipo do triângulo quanto aos ângulos.

Primeiro, some os ângulos conhecidos:

$$47^\circ + 68^\circ = 115^\circ$$

Agora subtraia de $180^\circ$:

$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Então o terceiro ângulo é $65^\circ$. O conjunto completo de ângulos é $47^\circ$, $68^\circ$ e $65^\circ$, então este é um triângulo acutângulo porque os três ângulos são menores que $90^\circ$.

Tipos de triângulo quanto aos ângulos

Triângulo acutângulo

Os três ângulos internos são menores que $90^\circ$.

Triângulo retângulo

Um ângulo interno é exatamente $90^\circ$.

Triângulo obtusângulo

Um ângulo interno é maior que $90^\circ$.

Como o total é $180^\circ$, um triângulo pode ter no máximo um ângulo reto e no máximo um ângulo obtuso.

Erros comuns com ângulos de triângulos

Usar a regra fora da geometria euclidiana

A regra dos $180^\circ$ vale para a geometria plana comum. Esse é o contexto da maioria dos problemas escolares, mas essa condição importa se o problema não estiver em um plano.

Misturar ângulos internos e externos

A regra da soma dos ângulos do triângulo usa os três ângulos internos, não um ângulo externo formado ao prolongar um lado.

Classificar pelo desenho em vez dos números

Um esboço pode enganar. Um triângulo que parece obtusângulo pode não ser, então classifique-o pelas medidas dos ângulos, não pelo desenho.

Esquecer as unidades em graus

Se o problema está em graus, mantenha o símbolo de grau para ficar claro que tipo de medida angular você está usando.

Verificações rápidas que ajudam a encontrar erros

Em um triângulo equilátero, os três ângulos são iguais, então cada um mede $60^\circ$.

Em um triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados iguais são iguais. Isso dá mais uma relação para usar antes de aplicar o total de $180^\circ$.

Esses fatos são úteis como verificações rápidas quando um resultado parece suspeito.

Quando a regra da soma dos ângulos do triângulo é útil

A regra da soma dos ângulos aparece na geometria básica, em demonstrações com triângulos, em problemas de construção e na preparação para a trigonometria. Muitas vezes, ela é o primeiro passo antes de usar um fato mais específico sobre triângulos isósceles, retângulos, congruentes ou semelhantes.

Ela também ajuda a verificar se a resposta faz sentido. Se três ângulos internos não somam $180^\circ$ em um problema padrão de geometria plana, algo deu errado antes.

Tente um problema parecido

Tente um triângulo com ângulos de $35^\circ$ e $90^\circ$. Encontre o terceiro ângulo e depois decida se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Se quiser conferir depois de resolver, compare seus passos no solver e verifique se os três ângulos internos ainda somam $180^\circ$.