삼각함수 항등식은 sin \sin sin cos \cos cos tan \tan tan
가장 빨리 익히는 방법은 용도별로 묶어서 보는 것입니다. 어떤 항등식은 한 삼각함수를 다른 삼각함수로 바꾸고, 어떤 것은 sin θ \sin \theta sin θ cos θ \cos \theta cos θ θ \theta θ 2 θ 2\theta 2 θ θ / 2 \theta/2 θ /2
어떤 식이 삼각함수 항등식인가?
항등식은 그 정의역에 있는 모든 각에서 참이어야 합니다. 예를 들어,
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 은 모든 θ \theta θ
반면,
sin θ = 1 2 \sin \theta = \frac{1}{2} sin θ = 2 1 는 항등식이 아닙니다. 특정한 각에서만 참입니다.
정의역 조건은 중요합니다. 예를 들어,
tan θ = sin θ cos θ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} tan θ = cos θ sin θ 는 cos θ ≠ 0 \cos \theta \neq 0 cos θ = 0
핵심 삼각함수 항등식 목록
역수 항등식
csc θ = 1 sin θ , sec θ = 1 cos θ , cot θ = 1 tan θ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad
\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} csc θ = sin θ 1 , sec θ = cos θ 1 , cot θ = tan θ 1 각 식에서는 분모가 0이 아니어야 합니다.
몫 항등식
tan θ = sin θ cos θ , cot θ = cos θ sin θ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} tan θ = cos θ sin θ , cot θ = sin θ cos θ 이 항등식들은 모든 것을 sin \sin sin cos \cos cos
피타고라스 항등식
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 첫 번째 항등식이 나머지 두 식의 출발점입니다.
짝홀 항등식
sin ( − θ ) = − sin θ , cos ( − θ ) = cos θ , tan ( − θ ) = − tan θ \sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad
\cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad
\tan(-\theta) = -\tan \theta sin ( − θ ) = − sin θ , cos ( − θ ) = cos θ , tan ( − θ ) = − tan θ 같은 패턴은 역수 함수에도 이어집니다. csc \csc csc cot \cot cot sec \sec sec
여함수 항등식
sin ( π 2 − θ ) = cos θ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta sin ( 2 π − θ ) = cos θ cos ( π 2 − θ ) = sin θ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta cos ( 2 π − θ ) = sin θ tan ( π 2 − θ ) = cot θ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta tan ( 2 π − θ ) = cot θ 이 식들은 서로 여각인 각에서 나옵니다.
합차 공식
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β 탄젠트 공식에서는 분모가 0이 아니어야 합니다.
배각 공식
합 공식에서 α = β = θ \alpha = \beta = \theta α = β = θ
sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − sin 2 θ \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − sin 2 θ cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1 \cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1 cos ( 2 θ ) = 1 − 2 sin 2 θ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta cos ( 2 θ ) = 1 − 2 sin 2 θ tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 − tan 2 θ \tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} tan ( 2 θ ) = 1 − tan 2 θ 2 tan θ 탄젠트의 배각 공식도 1 − tan 2 θ ≠ 0 1 - \tan^2 \theta \neq 0 1 − tan 2 θ = 0
반각 공식
이 식들은 배각 공식을 정리해서 얻습니다.
sin 2 θ = 1 − cos ( 2 θ ) 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} sin 2 θ = 2 1 − cos ( 2 θ ) cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} cos 2 θ = 2 1 + cos ( 2 θ ) 각을 θ / 2 \theta/2 θ /2
sin ( θ 2 ) = ± 1 − cos θ 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} sin ( 2 θ ) = ± 2 1 − cos θ cos ( θ 2 ) = ± 1 + cos θ 2 \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} cos ( 2 θ ) = ± 2 1 + cos θ 부호는 θ / 2 \theta/2 θ /2 ± \pm ±
주요 삼각함수 항등식은 어디서 나오나
단위원에서 첫 번째 피타고라스 항등식이 나온다
단위원에서 각 θ \theta θ ( cos θ , sin θ ) (\cos \theta, \sin \theta) ( cos θ , sin θ ) x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x 2 + y 2 = 1 x = cos θ x = \cos \theta x = cos θ y = sin θ y = \sin \theta y = sin θ
cos 2 θ + sin 2 θ = 1 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 을 얻습니다.
이것이 기본 피타고라스 항등식입니다.
나머지 피타고라스 항등식은 나누기에서 나온다
cos θ ≠ 0 \cos \theta \neq 0 cos θ = 0
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 의 양변을 cos 2 θ \cos^2 \theta cos 2 θ
sin 2 θ cos 2 θ + 1 = 1 cos 2 θ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} cos 2 θ sin 2 θ + 1 = cos 2 θ 1 tan 2 θ + 1 = sec 2 θ \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta tan 2 θ + 1 = sec 2 θ 를 얻습니다.
sin θ ≠ 0 \sin \theta \neq 0 sin θ = 0 sin 2 θ \sin^2 \theta sin 2 θ
1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 가 됩니다.
배각 공식은 합 공식에서 나온다
먼저
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 에서 시작해 α = β = θ \alpha = \beta = \theta α = β = θ
sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ \sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ 가 됩니다.
코사인과 탄젠트의 배각 공식도 같은 방식으로 유도합니다.
풀이 예제: 배각이 들어간 식 간단히 하기
다음을 간단히 하시오.
1 − cos ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) \frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} sin ( 2 θ ) 1 − cos ( 2 θ ) 단, 원래 식이 정의되는 각에서만 생각합니다.
배각 공식을 쓰면
1 − cos ( 2 θ ) = 1 − ( 1 − 2 sin 2 θ ) = 2 sin 2 θ 1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta 1 − cos ( 2 θ ) = 1 − ( 1 − 2 sin 2 θ ) = 2 sin 2 θ 이고,
sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ \sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta sin ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ 입니다.
이제 대입하면
1 − cos ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) = 2 sin 2 θ 2 sin θ cos θ = sin θ cos θ = tan θ \frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}
= \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta}
= \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
= \tan \theta sin ( 2 θ ) 1 − cos ( 2 θ ) = 2 sin θ cos θ 2 sin 2 θ = cos θ sin θ = tan θ 를 얻습니다.
이 결론은 원래 분모가 0이 아닌 곳에서만 유효하므로, sin ( 2 θ ) ≠ 0 \sin(2\theta) \neq 0 sin ( 2 θ ) = 0
삼각함수 항등식에서 자주 하는 실수
정의역 제한을 무시하는 것이 가장 큰 문제를 일으키는 실수입니다. sin θ \sin \theta sin θ cos θ \cos \theta cos θ
또 하나 흔한 실수는 반각 공식에서 ± \pm ±
학생들은 sin 2 θ \sin^2 \theta sin 2 θ sin ( θ 2 ) \sin(\theta^2) sin ( θ 2 ) sin 2 θ \sin^2 \theta sin 2 θ ( sin θ ) 2 (\sin \theta)^2 ( sin θ ) 2
삼각함수 항등식은 언제 쓰이나
삼각함수 항등식은 식을 더 유용한 형태로 바꿔야 할 때마다 등장합니다. 숙제 문제를 간단히 하거나, 두 식이 같음을 증명하거나, 삼각방정식을 풀거나, 적분 같은 미적분 주제를 준비할 때 모두 쓰입니다.
실제로는 많은 문제가 모든 항을 sin θ \sin \theta sin θ cos θ \cos \theta cos θ
비슷한 문제를 풀어 보세요
다음을 간단히 하세요.
sin ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) \frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)} 1 + cos ( 2 θ ) sin ( 2 θ ) 배각 공식을 사용하되, 원래 식의 정의역 조건을 계속 확인하세요. 한 단계 더 해 보고 싶다면, 결과를 tan θ \tan \theta tan θ