역삼각함수 — 공식과 그래프

역삼각함수는 삼각함수값으로부터 각을 돌려줍니다. 실제로는 $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$가 각각 가능한 모든 각이 아니라 주값이라고 하는 하나의 표준 각만 반환합니다.

이 제한은 꼭 필요합니다. 사인, 코사인, 탄젠트는 전체 그래프에서 값이 반복되므로, 각 출력값이 정확히 하나의 각에서만 나오도록 구간을 제한해야만 역함수를 가질 수 있습니다.

$\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$의 뜻

다음 정의는 삼각함수 관계와 허용되는 출력 범위를 함께 보여줍니다.

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

이 구간 조건은 부가 설명이 아닙니다. 역함수가 하나의 값만 갖도록 만드는 핵심 조건입니다.

실제로 꼭 알아야 하는 정의역과 치역

학생들이 가장 자주 쓰는 세 가지 역삼각함수는 다음과 같습니다.

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

각 줄은 먼저 입력값, 그다음 출력값으로 읽으면 됩니다. 예를 들어 $\arcsin x$는 사인이 그 구간 밖의 값을 만들지 않기 때문에 $-1 \le x \le 1$에서만 정의됩니다.

역삼각함수 그래프는 어떻게 작동할까

역삼각함수의 그래프는 직선 $y = x$에 대한 대칭이지만, 원래 삼각함수를 일대일이 되는 구간으로 제한한 뒤에만 그렇게 볼 수 있습니다.

예를 들어 $y = \arcsin x$는 제한된 사인 그래프

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

를 직선 $y = x$에 대해 대칭시킨 것입니다.

같은 생각으로 다음 대응도 얻습니다.

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

반복되는 전체 사인, 코사인, 탄젠트 그래프를 그대로 대칭시키면 안 됩니다. 전체 그래프는 수평선 판정법을 통과하지 못하므로 역함수를 가질 수 없습니다.

주값 범위를 이용한 예제 1개

다음을 계산해 봅시다.

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

우리는 $\cos y = -\frac{1}{2}$를 만족하는 각 $y$를 찾고 있습니다. 가능한 각은 많지만, $\arccos x$는 반드시 주값 범위 안의 각을 반환해야 합니다.

$$0 \le y \le \pi$$

이 구간 안에서 맞는 각은 $y = \frac{2\pi}{3}$이므로,

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

여기서 길러야 할 가장 중요한 습관은 이것입니다. 조건을 만족하는 아무 각이나 찾지 말고, 올바른 범위 안에 있는 각을 찾으세요.

역삼각함수에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수는 역삼각함수와 역수를 혼동하는 것입니다. $\arcsin x$는 $\csc x$와 같지 않으며, $\sin^{-1} x$는 보통 $1/\sin x$가 아니라 역정현함수를 뜻합니다.

또 다른 흔한 실수는 주값 범위를 무시하는 것입니다. 예를 들어 $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$이지만,

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

인 이유는 $\frac{\pi}{6}$이 $\arcsin x$의 허용 범위 안에 있는 각이기 때문입니다.

학생들은 정의역도 자주 놓칩니다. $\arcsin 2$나 $\arccos(-3)$ 같은 식은 사인과 코사인이 $[-1,1]$ 밖의 값을 만들지 않으므로 실수값을 갖지 않습니다.

역삼각함수는 언제 쓰일까

역삼각함수는 비율은 알고 있고 각을 다시 구해야 할 때마다 등장합니다. 직각삼각형 기하, 항법, 기울기와 방향 문제, 벡터 성분, 삼각형을 이용한 모델링에서 이런 상황이 자주 나옵니다.

미적분에서도 중요합니다. 도함수와 부정적분, 예를 들어 $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ 같은 식, 그리고 삼각식이 들어가는 치환적분에서 자주 보게 됩니다.

이렇게 2단계로 생각해 보세요

역삼각함수 식을 계산할 때는 다음 두 가지를 확인하세요.

1. 주어진 값에 맞는 삼각함수는 무엇인가?
2. 그 함수의 주값 범위 안에 있는 각은 무엇인가?

이 두 가지를 함께 확인하면 공식과 그래프가 훨씬 쉽게 읽힙니다.

직접 한 번 해보세요

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$와 $\arctan(1)$을 계산해 보세요. 먼저 주값 범위를 떠올리면 두 답 모두 빠르게 정리됩니다.