삼각법 완전 가이드

삼각법은 각과 길이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다. 직각삼각형에서 모르는 변의 길이나 각을 구해야 할 때, 보통 삼각법이 가장 기본적인 도구가 됩니다. 이 개념은 더 나아가 단위원, 회전, 파동 같은 주기적 현상에도 확장됩니다.

대부분의 학생은 세 가지 함수부터 시작합니다. 바로 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)입니다. 직각삼각형에서 예각 $\theta$에 대해,

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

$\cos \theta \ne 0$이면,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

핵심 아이디어는 공식보다 더 단순합니다. 같은 각을 가진 삼각형들은 변의 비가 같습니다. 그래서 삼각비의 값은 삼각형의 크기가 아니라 각에 의해 결정됩니다.

실제로 삼각법이 의미하는 것

직각삼각형에서 삼각법은 하나의 각과 두 변의 길이를 연결해 줍니다. 어떤 각을 기준으로 정하느냐에 따라 변의 이름도 그 각에 대해 상대적으로 정해집니다.

• 대변은 그 각의 맞은편에 있는 변입니다.
• 인접변은 그 각에 붙어 있는 변이지만, 빗변은 아닙니다.
• 빗변은 가장 긴 변으로, 직각의 맞은편에 있습니다.

같은 삼각형이라도 다른 각을 기준으로 보면 대변과 인접변이 서로 바뀔 수 있습니다. 이것이 자주 나오는 실수의 원인입니다.

사인, 코사인, 탄젠트 값이 일정한 이유

두 직각삼각형의 예각이 같다면, 그 삼각형들은 서로 닮음입니다. 변의 길이는 다를 수 있지만, 대응하는 변들은 같은 비율로 커지거나 작아집니다. 따라서 변의 비는 그대로 유지됩니다.

그래서 $\sin 30^\circ$나 $\cos 60^\circ$는 항상 하나의 고정된 값을 가집니다. 삼각형의 크기가 커지거나 작아져도, 각이 같다면 그 비는 변하지 않습니다.

사인, 코사인, 탄젠트 한눈에 보기

각 비는 서로 다른 두 변을 비교합니다.

• $\sin \theta$는 대변과 빗변을 비교합니다.
• $\cos \theta$는 인접변과 빗변을 비교합니다.
• $\tan \theta$는 대변과 인접변을 비교합니다.

SOHCAHTOA는 이 패턴을 기억하는 데 도움이 될 수 있습니다. 하지만 먼저 변을 정확히 표시해야 제대로 쓸 수 있습니다.

예제: 건물의 높이 구하기

평평한 땅에서 건물로부터 $20$미터 떨어진 곳에 서 있고, 건물 꼭대기를 올려다본 각이 $35^\circ$라고 해 봅시다. 눈높이는 무시할 때, 건물의 높이는 얼마일까요?

이것은 직각삼각형 문제입니다. 수평 거리는 인접변이고, 건물의 높이는 대변입니다. 각과 인접변을 알고 있으므로 탄젠트가 가장 알맞습니다.

$$\tan 35^\circ = \frac{\text{height}}{20}$$

높이에 대해 정리하면,

$$\text{height} = 20 \tan 35^\circ$$

계산기를 degree 모드로 두고 계산하면,

$$\text{height} \approx 20(0.7002) \approx 14.0$$

따라서 이 조건에서 건물의 높이는 약 $14$미터입니다.

전체적인 풀이 흐름은 단순합니다. 알고 있는 변을 확인하고, 각을 정한 뒤, 둘을 연결하는 삼각비를 선택해서 식을 풀면 됩니다.

단위원은 어디에 쓰일까

직각삼각형은 출발점일 뿐, 삼각법의 전부는 아닙니다. $90^\circ$보다 큰 각, 음의 각, 또는 한 바퀴 전체 회전을 다루려면 삼각법을 단위원으로 확장해야 합니다.

단위원에서 각 $\theta$에 해당하는 점은

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

입니다. 즉 코사인은 가로좌표이고, 사인은 세로좌표입니다. 그래서 같은 함수들이 원운동이나 주기적인 그래프를 설명하는 데도 쓰입니다.

삼각법에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 각을 정하기도 전에 대변과 인접변을 먼저 표시하는 것입니다. 이 이름들은 고정된 것이 아니라 기준이 되는 각에 따라 달라집니다.

또 다른 실수는 삼각형의 종류에 맞지 않는 비를 사용하는 것입니다. 기본적인 $\sin$, $\cos$, $\tan$의 변의 비 정의는 직각삼각형에 직접 적용됩니다. 직각삼각형이 아닌 경우에는 보통 사인 법칙이나 코사인 법칙 같은 도구가 필요합니다.

계산기 모드도 오류의 원인이 됩니다. 문제에서 각을 도 단위로 주면 계산기도 degree 모드여야 합니다. 라디안으로 계산하는 상황이라면 계산기 설정도 그에 맞아야 합니다.

또한 $\cos \theta = 0$일 때는 $\tan \theta$가 정의되지 않는다는 점도 기억해 두면 좋습니다. 0으로 나누는 것은 허용되지 않기 때문입니다.

삼각법은 언제 쓰일까

삼각법은 방향, 회전, 높이, 거리, 또는 주기적인 변화가 중요한 곳이라면 어디에서나 등장합니다. 대표적인 예로 측량, 항법, 공학, 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 신호 분석이 있습니다.

학교 수학에서는 보통 네 가지 형태로 만나게 됩니다. 직각삼각형 문제, 단위원의 값, 삼각함수 항등식, 그리고 사인과 코사인 그래프입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

이번에는 건물 대신 나무를 생각해 보세요. 나무에서 $15$미터 떨어진 곳에 서서, 올려다본 각이 $40^\circ$일 때 높이를 추정해 보세요. 계산하기 전에 어떤 삼각비를 써야 하는지 고를 수 있다면, 핵심 개념을 제대로 이해한 것입니다.