사인, 코사인, 탄젠트 — 쉽게 설명

사인, 코사인, 탄젠트는 직각삼각형에서 하나의 기준 각에 대해 변의 길이를 비교하는 비율입니다. 어느 변이 대변, 인접변, 빗변인지 이해하면 이 세 가지 비율을 훨씬 쉽게 사용할 수 있습니다.

직각삼각형에서 $\theta$가 예각이면,

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

이것이 바로 SOHCAHTOA의 핵심입니다. 이 암기법은 도움이 되지만, 더 중요한 점은 더 단순합니다. 각 삼각함수는 하나의 각에 연결된 비율이지, 어떤 한 변 자체의 성질이 아닙니다.

직각삼각형에서 Sin, Cos, Tan의 뜻

직각삼각형에서 예각 $\theta$ 하나를 정합니다.

• 대변은 $\theta$의 맞은편에 있는 변입니다.
• 인접변은 $\theta$ 옆에 있는 변이지만, 빗변은 아닙니다.
• 빗변은 가장 긴 변으로, 직각의 맞은편에 있습니다.

이렇게 이름을 정하고 나면, 삼각비는 서로 다른 비교를 나타냅니다.

• $\sin \theta$는 대변과 빗변을 비교합니다.
• $\cos \theta$는 인접변과 빗변을 비교합니다.
• $\tan \theta$는 대변과 인접변을 비교합니다.

다른 예각으로 바꾸면 대변과 인접변도 함께 바뀝니다. 그래서 같은 삼각형이라도 두 예각에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 값은 서로 다릅니다.

또 하나 중요한 사실이 있습니다. 각이 고정되어 있으면, 삼각형을 크게 하거나 작게 해도 이 비율들은 변하지 않습니다. 닮은삼각형에서는 같은 각에 대한 비율이 항상 같습니다.

3-4-5 삼각형으로 보는 예제

한 직각삼각형의 변의 길이가 $3$, $4$, $5$라고 합시다. 길이가 $3$인 변의 맞은편 각을 $\theta$라고 하겠습니다.

그러면:

• 대변 $= 3$
• 인접변 $= 4$
• 빗변 $= 5$

따라서

$$\sin \theta = \frac{3}{5}, \quad \cos \theta = \frac{4}{5}, \quad \tan \theta = \frac{3}{4}$$

이 예시는 패턴을 분명하게 보여 줍니다. 사인과 코사인은 모두 빗변을 사용합니다. 탄젠트는 빗변을 쓰지 않고 두 직각변을 비교하므로, 기울기의 가파른 정도를 파악할 때 자주 유용합니다.

사인, 코사인, 탄젠트는 언제 쓰나

이 비율들은 직각삼각형에서 각과 변의 길이가 연결되는 문제에 사용합니다.

• 필요한 변이 대변과 빗변이면 $\sin \theta$를 사용합니다.
• 필요한 변이 인접변과 빗변이면 $\cos \theta$를 사용합니다.
• 필요한 변이 대변과 인접변이면 $\tan \theta$를 사용합니다.

한 변의 길이와 하나의 예각을 알고 있으면, 삼각비로 다른 변을 구할 수 있는 경우가 많습니다. 반대로 변의 비를 알고 있으면 역삼각함수로 각을 구할 수 있습니다.

단위원에서 같은 개념이 어떻게 확장되는가

위의 직각삼각형 정의는 직각삼각형의 예각에 직접 적용됩니다. 하지만 $90^\circ$보다 큰 각, 음의 각, 또는 한 바퀴 이상의 회전에 대해서는 삼각함수가 단위원을 통해 같은 개념으로 확장됩니다.

단위원에서 각 $\theta$에 대응하는 점은

$$(\cos \theta, \sin \theta)$$

이고, 탄젠트는 여전히

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

라는 비율로 정의됩니다. 단, $\cos \theta \ne 0$이어야 합니다.

즉, 단위원에서는 코사인이 $x$좌표이고 사인이 $y$좌표입니다. 그래서 직각삼각형이 그려져 있지 않아도 같은 삼각함수 이름을 계속 사용할 수 있습니다.

사인, 코사인, 탄젠트에서 자주 하는 실수

가장 흔한 실수 중 하나는 대변과 인접변을 헷갈리는 것입니다. 이 이름들은 먼저 기준 각을 정한 뒤에야 의미가 있습니다.

또 다른 흔한 실수는 SOHCAHTOA가 모든 삼각함수 문제를 다 해결한다고 생각하는 것입니다. 이 암기법은 직각삼각형에서의 정의를 다룹니다. 문제가 일반각을 사용한다면, 보통 단위원 모델이 더 적절합니다.

또한 탄젠트를 변의 길이로 착각하는 경우도 있습니다. 삼각형에서 탄젠트는 길이가 아니라 비율이며, 높이 변화와 수평 이동의 비를 나타냅니다.

탄젠트가 항상 정의된다고 생각하는 것도 실수입니다. 단위원 관점에서는 $\cos \theta = 0$일 때 $\tan \theta$는 정의되지 않습니다.

사인, 코사인, 탄젠트는 어디에 나오나

이 개념들은 특히 다음에서 자주 등장합니다.

• 직각삼각형 문제
• 기울기와 방향
• 원운동과 파동
• 좌표기하와 단위원

문제가 직각삼각형에 관한 것이라면 먼저 변의 비 관점에서 시작하세요. 원 둘레의 각에 관한 것이라면 단위원 관점에서 시작하는 것이 좋습니다.

비슷한 문제를 직접 해보기

같은 $3$-$4$-$5$ 삼각형에서 다른 예각을 기준으로 잡아 보세요. 대변과 인접변을 다시 정한 뒤 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$를 다시 계산해 보세요. 이 간단한 확인만으로도 삼각비가 선택한 각에 따라 달라진다는 점을 분명히 알 수 있습니다.