삼각함수 그래프 — 사인, 코사인, 탄젠트와 그래프 변환

삼각함수 그래프는 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$가 $x$의 변화에 따라 어떻게 달라지는지 보여 줍니다. 빠르게 읽는 핵심은 간단합니다. 사인과 코사인은 주기적으로 반복되는 파형이고, 탄젠트는 수직 점근선을 사이에 두고 가지 형태로 반복되며, 그래프 변환은 기본 그래프의 높이, 너비, 이동, 대칭을 결정합니다.

식을 보고 그래프를 그릴 때는 네 가지를 먼저 확인하면 됩니다. 기본 함수는 무엇인가? 주기는 얼마인가? 중심선 또는 기준선은 어디인가? 그래프가 이동되었거나 대칭되었는가?

사인, 코사인, 탄젠트 그래프의 기본 모양

기본 사인 그래프 $y=\sin x$는 원점을 지나고, $x$를 라디안으로 재면 $2\pi$마다 반복됩니다. 기본 코사인 그래프 $y=\cos x$는 같은 파형과 같은 주기를 가지지만, $x=0$에서 최댓값으로 시작합니다.

기본 탄젠트 그래프 $y=\tan x$는 다르게 움직입니다. $\pi$마다 반복되고, 원점을 지나며, $\cos x = 0$인 곳에서 수직 점근선을 가집니다. 탄젠트는 값의 범위가 제한되지 않으므로 진폭이 없습니다.

수업에서 라디안 대신 도 단위를 사용한다면, 기본 주기는 사인과 코사인이 $360^\circ$, 탄젠트가 $180^\circ$입니다.

진폭, 주기, 이동이 그래프를 어떻게 바꾸는가

사인과 코사인에서 자주 쓰는 그래프 형태는 다음과 같습니다.

$$y = a\sin(b(x-h))+k$$

또는

$$y = a\cos(b(x-h))+k$$

$x$가 라디안일 때,

• 진폭 $= |a|$
• 주기 $= \frac{2\pi}{|b|}$
• 수평 이동 $= h$
• 수직 이동 $= k$
• 중심선 $= y=k$

$a<0$이면 그래프는 중심선을 기준으로 위아래 대칭됩니다. $b<0$이면 그래프는 좌우로 대칭됩니다. 교실에서 하는 많은 스케치에서는 여전히 주기, 이동, 핵심 점을 정확히 잡는 것이 가장 중요합니다.

탄젠트의 경우 보통 다음 형태를 씁니다.

$$y = a\tan(b(x-h))+k$$

그리고 $x$가 라디안이면,

• 주기 $= \frac{\pi}{|b|}$
• 수평 이동 $= h$
• 수직 이동 $= k$

$a$에 따른 세로 방향 확대·축소는 여전히 있지만, 탄젠트에는 최댓값과 최솟값이 없기 때문에 이를 진폭이라고 부르지 않습니다.

진폭과 주기의 의미

진폭은 사인 또는 코사인 그래프가 중심선 위아래로 얼마나 움직이는지를 나타냅니다. 진폭이 $3$이면 그래프는 중심선보다 위로 $3$만큼 올라가고 아래로 $3$만큼 내려갑니다.

주기는 그래프가 $x$축 방향으로 한 번 완전히 반복되는 데 필요한 길이입니다. 주기가 작을수록 그래프는 가로로 압축됩니다. 주기가 클수록 그래프는 더 넓게 늘어집니다.

기억해야 할 핵심 패턴은 이것입니다. $a$와 $k$는 세로 방향의 변화를, $b$와 $h$는 가로 방향의 변화를 조절합니다.

예제: $y=-2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$ 그래프 그리기

기본 그래프 $y=\sin x$에서 시작합니다.

이제 각 변환을 읽어 봅시다.

• $a=-2$이므로 진폭은 $2$이고, 그래프는 중심선을 기준으로 위아래 대칭됩니다.
• $b=1$이므로 주기는 그대로 $2\pi$입니다.
• $h=\frac{\pi}{3}$이므로 그래프는 오른쪽으로 $\frac{\pi}{3}$만큼 이동합니다.
• $k=1$이므로 중심선은 $y=1$입니다.

따라서 이 그래프는 $y=1$을 중심으로 진동하고, 최댓값은 $y=3$, 최솟값은 $y=-1$이며, 가로 길이 $2\pi$에서 한 주기를 완성합니다.

빠르게 스케치하려면 사인의 한 주기에 해당하는 표준 입력 다섯 개를 변환해서 쓰면 됩니다. 핵심 점은 다음과 같습니다.

$$\left(\frac{\pi}{3},1\right), \left(\frac{5\pi}{6},-1\right), \left(\frac{4\pi}{3},1\right), \left(\frac{11\pi}{6},3\right), \left(\frac{7\pi}{3},1\right)$$

이 점들은 전체 모양을 잘 보여 줍니다. 중심선에서 시작하고, 대칭 때문에 먼저 아래로 내려간 뒤, 다시 중심선으로 돌아오고, 꼭대기로 올라갔다가 다시 중심선으로 돌아옵니다.

시간을 가장 많이 아껴 주는 습관은 이것입니다. 그래프를 처음부터 새로 만들지 말고, 기본 그래프를 변환하세요.

변환된 탄젠트 그래프는 어떻게 작동하는가

탄젠트는 꼭대기와 바닥이 아니라 점근선을 중심으로 그래프를 이해해야 하므로, 다른 방식으로 생각해야 합니다.

기본 그래프 $y=\tan x$에서 수직 점근선은

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

이고, 여기서 $n$은 정수입니다. 영점은

$$x = n\pi$$

에 있습니다.

변환된 그래프 $y=a\tan(b(x-h))+k$에서는 점근선이

$$b(x-h) = \frac{\pi}{2} + n\pi$$

일 때 생깁니다. 따라서 점근선 사이 간격은 라디안 기준으로 $\frac{\pi}{|b|}$입니다. 예를 들어 $y=\tan(2x)$에서는 그 간격이 $\frac{\pi}{2}$가 되므로 가지가 두 배 더 자주 반복됩니다. 탄젠트에서는 진폭처럼 생각하려 하기보다 이 간격을 보는 것이 더 중요합니다.

삼각함수 그래프에서 자주 하는 실수

탄젠트의 확대를 "진폭"이라고 부르기

사인과 코사인은 중심선에서 가장 멀리 떨어진 위쪽과 아래쪽 거리가 있으므로 진폭이라는 말이 맞습니다. 하지만 탄젠트는 값이 평평해지지 않으므로 진폭이 없습니다.

수평 이동의 부호를 반대로 읽기

$y=\sin(x-2)$에서 그래프는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 $2$만큼 이동합니다. 괄호 안의 부호는 처음에는 반대로 느껴지는 경우가 많습니다.

주기 공식을 헷갈리기

입력 안에 $b$가 곱해져 있으면 주기는 $|b|$로 나누어집니다. 사인과 코사인은 라디안 기준으로 $\frac{2\pi}{|b|}$입니다. 탄젠트는 $\frac{\pi}{|b|}$입니다.

축이 라디안인지 도 단위인지 확인하지 않기

위의 공식은 라디안을 기준으로 합니다. 수업이나 그래프에서 도 단위를 사용한다면 $2\pi$를 $360^\circ$로, $\pi$를 $180^\circ$로 바꾸면 됩니다.

삼각함수 그래프는 언제 쓰이는가

삼각함수 그래프는 어떤 패턴이 반복될 때마다 사용됩니다. 학교 수학에서는 그래프 변환, 주기적 거동, 단위원과 함수의 연결을 이해하는 데 도움이 됩니다. 학교 밖에서도 같은 모양은 파동, 소리, 계절 주기, 회전 시스템, 신호 모델에서 나타납니다.

하지만 그래프를 정확히 읽기 위해 이런 배경지식이 모두 필요한 것은 아닙니다. 대부분의 수업에서는 기본 모양을 파악하고, 한 주기 또는 한 가지를 찾고, 변환을 주의 깊게 추적하는 것이 실질적인 핵심입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$y=3\cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)-1$를 스케치해 보세요. 점을 찍기 전에 먼저 진폭, 주기, 이동, 중심선을 확인해 보세요. 그리기 전에 말로 그래프를 설명할 수 있다면, 그래프 변환 개념이 점점 익숙해지고 있는 것입니다.