진법 체계 - 이진수, 팔진수, 십육진수

이진수, 팔진수, 십육진수는 모두 자릿값을 사용하는 진법 체계입니다. 차이는 밑에 있습니다. 이진수는 밑이 $2$, 팔진수는 밑이 $8$, 십육진수는 밑이 $16$입니다. 이 생각만 이해하면 기호들이 더 이상 낯설게 보이지 않습니다.

어떤 위치적 기수법이든 각 자리는 밑의 거듭제곱입니다. 밑이 $10$인 경우 자릿값은 $1$, $10$, $100$처럼 커집니다. 밑이 $2$인 경우 자릿값은 $1$, $2$, $4$, $8$, $16$처럼 커집니다. 이 규칙은 모든 진법에 똑같이 적용됩니다.

각 진법에서 사용하는 숫자

이진수는 숫자 $0$과 $1$만 사용합니다.

팔진수는 $0$부터 $7$까지의 숫자를 사용합니다.

십육진수는 $16$개의 기호를 사용합니다. $0$부터 $9$까지, 그리고 값 $10$부터 $15$를 나타내기 위해 $A$부터 $F$까지를 사용합니다.

즉, 십육진수 한 자리는 이진수 한 자리보다 더 많은 정보를 담을 수 있습니다. 십육진수의 한 자리는 $2$의 거듭제곱이 아니라 $16$의 거듭제곱으로 세기 때문입니다.

핵심 직관

수를 다른 진법으로 쓴다고 해서 그 값 자체가 바뀌는 것은 아닙니다. 바뀌는 것은 표현 방식뿐입니다.

예를 들어, 밑이 $10$인 수 $45$는 이진수, 팔진수, 십육진수로 써도 같은 양입니다. 서로 다른 진법은 같은 양을 나타내는 서로 다른 언어와 같습니다.

대표 예제 하나: $45$를 이진수, 팔진수, 십육진수로 쓰기

먼저 밑이 $10$인 수에서 시작합니다.

$$45 = 32 + 8 + 4 + 1$$

이들은 $2$의 거듭제곱입니다.

$$32 = 2^5,\quad 8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 1 = 2^0$$

따라서 이진수로 쓰면 $2^5$, $2^3$, $2^2$, $2^0$ 자리에 $1$이 들어갑니다.

$$45_{10} = 101101_2$$

이제 이 이진수 표현을 이용해 팔진수를 구해 봅시다. $8 = 2^3$이므로, 오른쪽부터 이진수를 $3$자리씩 묶습니다.

$$101101_2 = 101\ 101_2$$

각 묶음은 팔진수 한 자리가 됩니다.

$$101_2 = 5,\quad 101_2 = 5$$

따라서

$$45_{10} = 55_8$$

이제 십육진수를 구합니다. $16 = 2^4$이므로, 오른쪽부터 이진수를 $4$자리씩 묶습니다. 필요하면 앞에 $0$을 붙입니다.

$$101101_2 = 0010\ 1101_2$$

그다음 각 묶음을 변환합니다.

$$0010_2 = 2,\quad 1101_2 = 13 = D$$

따라서

$$45_{10} = 2D_{16}$$

세 표현은 모두 같은 양을 나타냅니다.

$$45_{10} = 101101_2 = 55_8 = 2D_{16}$$

자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 밑이 바뀌면 자릿값도 바뀐다는 점을 잊는 것입니다. 문자열 $101$은 밑이 $2$, $8$, $10$일 때 같은 뜻이 아닙니다.

또 다른 실수는 그 진법에서 허용되지 않는 숫자를 사용하는 것입니다. 예를 들어, 이진수에는 $2$가 들어갈 수 없고 팔진수에는 $8$이 들어갈 수 없습니다.

또한 학생들은 이진수를 팔진수나 십육진수로 바꿀 때 자주 잘못 묶습니다. 오른쪽부터 묶고, 완전한 묶음이 되지 않으면 앞에 $0$을 붙이세요.

이런 진법은 언제 쓰이나요?

이진수는 스위치가 자연스럽게 두 상태를 가지므로 디지털 시스템의 기본 언어입니다. 팔진수와 십육진수는 긴 이진수 문자열을 더 간단하게 쓰는 방법입니다.

이 수학적 아이디어를 이해하는 데 컴퓨터 과학 지식이 꼭 필요한 것은 아닙니다. 이 진법들은 위치적 기수법의 핵심 규칙, 즉 값은 밑과 자리에 따라 결정된다는 사실을 익히는 데 여전히 중요합니다.

비슷한 변환을 직접 해보세요

$58_{10}$을 이진수, 팔진수, 십육진수로 바꿔 보세요. 먼저 $2$의 거듭제곱의 합으로 나타낸 뒤, 이진수 자릿수를 묶어서 나머지 두 표현을 구해 보세요.