정수 — 연산 법칙과 수직선

정수는 양의 정수, 음의 정수, 그리고 $0$을 말합니다: $\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$. 분수와 소수는 정수에 포함되지 않습니다.

빠르게 핵심 규칙만 알고 싶다면 두 가지를 먼저 기억하면 됩니다. 수직선에서는 부호가 $0$에서 어느 방향인지를 나타내고, 크기는 $0$에서의 거리를 나타냅니다. 곱셈과 나눗셈에서는 부호가 같으면 양수, 다르면 음수가 됩니다.

수직선에서 정수가 뜻하는 것

수직선을 사용하면 정수를 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 양의 정수는 $0$의 오른쪽에 있고, 음의 정수는 왼쪽에 있으며, $0$에서 더 멀리 있는 수일수록 거리가 더 큽니다.

예를 들어 $4$는 $0$의 오른쪽으로 4칸 떨어져 있고, $-4$는 왼쪽으로 4칸 떨어져 있습니다. 두 수는 $0$에서의 거리는 같지만 방향은 반대입니다.

그래서 정수는 이익과 손실, 영하와 영상의 온도, 고도, 수평 위치를 나타낼 때 유용합니다.

정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 법칙

덧셈과 뺄셈은 수직선에서의 이동으로 생각하면 됩니다:

• 양의 정수를 더하면 오른쪽으로 이동합니다.
• 음의 정수를 더하면 왼쪽으로 이동합니다.
• 정수를 뺀다는 것은 그 수의 반대수를 더하는 뜻입니다.

예:

$$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$$

곱셈과 나눗셈에서는 부호 법칙을 사용합니다:

• 부호가 같으면 결과는 양수입니다.
• 부호가 다르면 결과는 음수입니다.

$$(-3)(4) = -12$$ $$(-3)(-4) = 12$$ $$12 \div (-3) = -4$$

여기서 한 가지 조건이 중요합니다. $0$으로 나누기는 정의되지 않으며, 0이 아닌 정수로 나눈다고 해서 항상 결과가 정수 안에 머무는 것은 아닙니다. 예를 들어,

$$7 \div 2 = 3.5$$

몫은 실수이지만 정수는 아닙니다.

풀이 예시: $-2 + 7 - 4$ 계산하기

수직선의 생각을 단계별로 적용해 봅시다:

$$-2 + 7 - 4$$

$-2$에서 시작합니다. $7$을 더한다는 것은 오른쪽으로 7칸 이동하는 뜻입니다:

$$-2 + 7 = 5$$

이제 $4$를 뺍니다. 이는 왼쪽으로 4칸 이동하는 뜻입니다:

$$5 - 4 = 1$$

따라서

$$-2 + 7 - 4 = 1$$

이것이 정수의 덧셈과 뺄셈에서 가장 중요한 패턴입니다. 부호를 방향으로 읽고, 그다음 이동을 따라가면 됩니다.

정수 연산에서 자주 하는 실수

정수와 자연수를 혼동하기

자연수는 $0, 1, 2, 3, \ldots$를 포함하지만, 정수는 여기에 음수까지 포함합니다. 따라서 $-5$는 정수이지만 자연수는 아닙니다.

뺄셈이 방향을 바꾼다는 점을 잊기

$3 - (-2)$에서는 음수를 빼고 있으므로, 이는 양수를 더하는 것과 같습니다:

$$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$

나눗셈의 결과가 항상 정수라고 생각하기

정수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀 있지만 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않습니다. 즉, 두 정수를 나누면 정수가 아닌 값이 나올 수 있습니다.

정수가 사용되는 경우

정수는 산술, 좌표 그래프, 대수, 회계, 온도, 고도, 컴퓨터 과학에서 나타납니다. 정수는 단순히 크기만이 아니라 방향도 중요해지는 첫 번째 수 체계인 경우가 많습니다.

수직선에서 정수가 자연스럽게 느껴지면, 이후의 절댓값, 부등식, 대수식 같은 주제도 훨씬 쉽게 읽을 수 있습니다.

직접 해 보기

자신의 수직선에 다음을 직접 표시하며 풀어 보세요: $-6 + 9$, $4 - 11$, 그리고 $(-5)(-2)$. 손으로 먼저 계산한 뒤 더 긴 식도 확인하고 싶다면, 풀이기에 직접 입력해 각 부호 변화가 어떻게 작용하는지 비교해 보세요.