수의 종류 — 자연수, 전수, 정수, 유리수, 무리수

수의 종류는 지금 보고 있는 수가 어떤 부류에 속하는지 알려 줍니다: 자연수, 전수, 정수, 유리수, 무리수. 핵심은 간단합니다. 어떤 집합은 더 큰 집합 안에 포함되므로, 하나의 수가 동시에 여러 범주에 속할 수 있습니다.

처음부터 중요한 점이 하나 있습니다. 어떤 교과서에서는 $0$을 자연수에 포함하고, 어떤 교과서에서는 포함하지 않습니다. 전수는 보통 $0, 1, 2, 3, \dots$를 뜻하므로, $0$은 정의에 따라 달라질 가능성이 가장 큰 수입니다.

수의 집합은 어떻게 포함될까

실수 체계에서 보통의 포함 관계는 다음과 같습니다:

$$\text{natural} \subseteq \text{whole} \subseteq \text{integers} \subseteq \text{rational} \subseteq \text{real}$$

무리수도 실수이지만 유리수는 아닙니다. 따라서 실수는 유리수와 무리수, 두 그룹으로 나뉩니다.

그래서 하나의 수에 여러 이름이 붙을 수 있습니다. 예를 들어 $4$는 $4 = 4/1$이므로 자연수이자 전수, 정수, 유리수입니다.

자연수, 전수, 정수, 유리수, 무리수

자연수

자연수는 세는 수입니다. 많은 수업에서는 이를 다음과 같이 봅니다.

$$1, 2, 3, 4, \dots$$

일부 수업에서는 $0$도 포함합니다. 수업이나 교과서에서 따로 밝히지 않았다면, $0$을 자연수로 분류하기 전에 먼저 확인하세요.

전수

전수는 보통 다음과 같습니다.

$$0, 1, 2, 3, 4, \dots$$

전수에는 $0$이 포함되지만, 음수나 분수는 포함되지 않습니다.

정수

정수는 음의 전수, $0$, 양의 전수를 모두 포함합니다:

$$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$$

정수는 소수 부분이나 분수 부분이 없는 수입니다. 따라서 $-7$과 $0$은 정수이지만 $3/2$는 정수가 아닙니다.

유리수

유리수는 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있는 모든 수입니다.

$$\frac{a}{b}$$

여기서 $a$와 $b$는 정수이고, $b \ne 0$입니다.

여기에는 $\frac{3}{4}$ 같은 분수, $-2 = -2/1$이므로 $-2$ 같은 정수, 그리고 $0.5$, $0.333\dots$처럼 유한소수이거나 순환소수가 모두 포함됩니다.

무리수

무리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수입니다.

실수의 경우, 이는 소수 표현이 끝나지 않고 일정한 패턴으로 반복되지 않는다는 뜻입니다. 대표적인 예는 $\sqrt{2}$와 $\pi$입니다.

풀이 예시: 수를 어떻게 분류할까

대표 예시를 보면 패턴을 빠르게 파악할 수 있습니다:

수	분류	이유
$0$	전수, 정수, 유리수	$0 = 0/1$이므로 유리수입니다. 또한 전수이자 정수입니다. 자연수인지는 수업에서 $0$을 포함하는지에 따라 달라집니다.
$-3$	정수, 유리수	분수 부분이 없으므로 정수입니다. 또 $-3 = -3/1$이므로 유리수입니다.
$\frac\{7\}\{4\}$	유리수	이미 0이 아닌 분모를 가진 두 정수의 비로 쓰여 있으므로 유리수이지만, 정수는 아닙니다.
$\sqrt\{2\}$	무리수	두 정수의 분수로 나타낼 수 없으므로 무리수입니다.

여기서 핵심은 이것입니다. 분류는 수가 얼마나 복잡해 보이느냐가 아니라, 정의에 맞느냐로 결정됩니다.

소수를 빠르게 판별하는 법

소수가 유한소수이면 유리수입니다. 예를 들면,

$$0.125 = \frac{1}{8}$$

소수가 반복되면 역시 유리수입니다. 예를 들면,

$$0.777\dots = \frac{7}{9}$$

실수의 소수 표현이 끝나지도 않고 반복되지도 않으면 무리수입니다.

이 판별법은 반복 패턴을 알고 있을 때만 쓸 수 있습니다. 단지 길어 보인다고 해서 자동으로 무리수인 것은 아닙니다.

수의 종류에서 자주 하는 실수

$0$은 항상 자연수라고 생각하기

교과서마다 서로 다른 관례를 사용합니다. 문제에서 $0$이 자연수인지 묻는다면, 어떤 정의를 쓰는지 먼저 확인하세요.

정수는 유리수가 아니라고 생각하기

학생들은 정수와 유리수를 너무 분리해서 생각하는 경우가 있습니다. 모든 정수는 언제나 분모 $1$로 쓸 수 있으므로 유리수입니다.

모든 제곱근이 무리수라고 생각하기

무리수인 경우도 있지만 항상 그런 것은 아닙니다. 예를 들어 $\sqrt{2}$는 무리수이지만, $\sqrt{9} = 3$은 유리수입니다.

소수가 길면 반드시 무리수라고 생각하기

길이는 기준이 아닙니다. 진짜 질문은 그 소수가 끝나는지, 또는 반복되는지입니다.

자연수, 전수, 정수, 유리수, 무리수를 언제 사용할까

이 범주들은 방정식을 풀 때, 해집합을 설명할 때, 허용되는 입력값을 정할 때, 수직선을 읽을 때 등장합니다. 예를 들어 문제에서 정수해를 요구하면, $\frac{5}{2}$는 유리수이더라도 바로 제외됩니다.

또한 연산을 해도 항상 같은 집합 안에 머무는 것은 아니라는 점에서도 중요합니다. 예를 들어 자연수는 덧셈에서는 자연수로 남지만, 뺄셈에서는 항상 그렇지 않습니다.

비슷한 분류를 직접 해 보기

$5$, $-1$, $0.25$, $\sqrt{9}$를 직접 분류해 보세요. 매번 같은 질문을 해 보면 됩니다. 세는 수인가, $0$을 포함하는가, 분수 부분이 있는가, $a/b$ 꼴로 쓸 수 있는가, 아니면 그 조건을 만족하지 않는가?